PHƯƠNG PHÁP XÂY DỰNG HỌ NGHIỆM
TRONG BÀI TOÁN GIẢI PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN
Theo đề nghị của Phạm Quang Toàn,và dù kiến thức còn hạn hẹp ( ) nhưng mình cũng xin chuyển bài viết này từ trang chủ về diễn đàn, lập ra một topic về một phương pháp hiệu quả trong việc giải những bài toán phương trình nghiệm nguyên. Đó là phương pháp xây dựng họ nghiệm.
Đối với những bài toán chỉ yêu cầu chứng minh phương trình có vô số nghiệm nguyên, ta không cần vét cạn các nghiệm của nó, vì vậy trong trường hợp này, ta chỉ cần xây dựng một họ nghiệm có chứa tham số là đủ. Sau đây là một số ví dụ về phương pháp xây dựng nghiệm trong những bài toán về phương trình nghiệm nguyên :
Ví dụ 1 : Chứng minh rằng tồn tại vô số số nguyên $x,y$ sao cho $x^2+y^2+3$ là một số chính phương.
Lời giải :
Theo yêu cầu đề bài, ta chỉ cần chứng minh rằng phương trình $x^2+y^2+3=z^2$ có vô số nghiệm.
Thật vậy, chọn $z=x+2$ thì ta được :
$$x^{2}+y^{2}+3=(x+2)^{2}\Leftrightarrow y^{2}=4x+1$$
Đến đây, ta chỉ cần chọn $x$ sao cho $4x+1$ là số chính phương thì bài toán coi như được giải quyết.
Rõ ràng ta có thể chọn $$x=k^{2}-k\Rightarrow y^{2}=4(k^{2}-k)+1=(2k-1)^{2}\Rightarrow y=2k-1$$
Kết luận : Tồn tại vô số số nguyên $x,y$ có dạng $(x;y)=(k^2-k;2k-1)$, trong đó $k$ là một số nguyên bất kì thỏa mãn đề bài.
Lưu ý : Họ nghiệm trên cũng chưa vét cạn toàn bộ nghiệm của phương trình, vì vậy cách làm này chỉ hữu hiệu với những đề bài yêu cầu chứng minh phương trình vô số nghiệm, còn với những đề bài yêu cầu giải phương trình nghiệm nguyên thì nó không phát huy tác dụng.
Ví dụ 2 : Chứng minh rằng phương trình $x^{3}+y^{3}+z^{3}=2$ có vô số nghiệm nguyên.
Lời giải :
Chọn $x=1+k,y=1-k$ $\left ( k\in \mathbb{Z} \right )$, thay vào phương trình ta được :
$$\left ( 1+k \right )^{3}+(1-k)^{3}+z^{3}=2\Leftrightarrow 6k^{2}=-z^{3}$$
Như vậy nếu ta chọn được $k$ sao cho $6k^2$ là một lập phương đúng thì kết thúc chứng minh.
Thật vậy, ta hoàn toàn có thể chọn $k=6t^{3}$ ($t\in \mathbb{Z}$) thì :
$$-z^{3}=6.(6t^{3^{2}})=(6t^{2})^{3}\Rightarrow z=-6t^{2}$$
Khi đó ta tìm được $x=1+6t^{2},y=1-6t^{2}$
Kết luận : Phương trình có vô số nghiệm nguyên và một họ nghiệm là $(x;y;z)=(1+6t^{2},1-6t^{2},-6t^{2})$ trong đó $t\in \mathbb{Z}$.
Ví dụ 3 : Chứng minh rằng phương trình $x^{3}+y^{4}=z^{7}$ có vô số nghiệm nguyên dương.
Lời giải :
Ta luôn có điều hiển nhiên sau :
$$2^{a}+2^{a}=2^{a+1}$$
Như vậy nếu ta chọn $x=2^{\frac{a}{3}},y=2^{\frac{a}{4}},z=2^{\frac{a+1}{7}}$ thì ta có ngay $x^{3}+y^{4}=z^{7}$.
Công việc còn lại là tìm số tự nhiên $a$ sao cho $x,y,z$ đều nguyên.
Ta có $$\left\{\begin{matrix} 3|a & \\ 4|a & \\ 7|(a+1)& \end{matrix}\right.\Rightarrow a=84t+48\qquad(t\in \mathbb{N})$$
Kết luận : Phương trình có vô số nghiệm nguyên dương và một họ nghiệm là $\left ( x,y,z \right )=\left (2^{28t+16},2^{21t+12},2^{12t+7} \right )$ trong đó $t\in \mathbb{N}$.
Dựa trên sự vô số nghiệm nguyên của một số phương trình nổi tiếng như phương trình $Pythagore$, phương trình $Pell$,... ta cũng có thể thiết lập một họ nghiệm để chứng minh một phương trình có vô số nghiệm nguyên. Xem ví dụ sau đây :
Ví dụ 4 : Chứng minh rằng phương trình $x^3+y^3+z^3+t^3=1999$ có vô số nghiệm nguyên.
Lời giải :
Nhận thấy rằng ta có :
$$10^{3}+10^{3}+(-1)^{3}+0^{3}=1999$$
Do đó ta chọn $x=10+a,y=10-a,z=-1-b,t=b$ ($a,b\in \mathbb{Z}$) để khi thay vào phương trình ban đầu và khai triển, ta được một phương trình mới mà quan hệ giữa hai biến mới là $a$ và $b$ được "gần" nhau hơn.
Thật vậy, ta có :
$$(10+a)^{3}+(10-a)^{3}+(-1-b)^{3}+b^{3}=1999\Leftrightarrow 20a^{2}=b(b+1)\Leftrightarrow (2b+1)^{2}-80a^{2}=1$$
Đây chính là phương trình $Pell$, mà phương trình $Pell$ có vô số nghiệm nguyên, do đó tồn tại vô số các số nguyên $a,b$ thỏa mãn phương trình. Tức tồn tại vô số số nguyên $x,y,z,t$ thỏa mãn phương trình ban đầu. Đây chính là điều phải chứng minh.
Ví dụ 5 :
a) Chứng minh rằng tồn tại vô hạn số chính phương viết được dưới dạng tổng của hai số mà mỗi số là một lũy thừa của $2$.
b) Chứng minh rằng tồn tại vô hạn số chính phương viết được dưới dạng tổng của hai số mà mỗi số là một lũy thừa của $3$.
Lời giải :
a) Theo yêu cầu đề bài ta chỉ cần chứng minh phương trình $2^{x}+2^{y}=z^{2}$ có vô số nghiệm nguyên dương.
Thật vậy, ta có thể chọn $x=2t+3,y=2t$ ($t\in \mathbb{Z}^{+}$) thì ta được :
$$z^{2}=2^{2t+3}+2^{2t}=(3.2^{t})^{2}\Rightarrow z=3.2^{t}$$
Do đó phương trình có vô số nghiệm nguyên dương và một họ nghiệm là $(x;y;z)=(2t+3,2t,3.2^t)$ trong đó $t\in \mathbb{Z}^{+}$. Từ đó ta có điều phải chứng minh
b) Theo yêu cầu đề bài ta chỉ cần chứng minh phương trình $3^{x}+3^{y}=z^{2}$ có vô số nghiệm nguyên dương.
Thật vậy, ta có thể chọn $x=2t+1,y=2t$ ($t\in \mathbb{Z}^{+}$) thì ta được :
$$z^{2}=3^{2t+1}+3^{2t}=(2.3^{t})^{2}\Rightarrow z=2.3^{t}$$
Do đó phương trình có vô số nghiệm nguyên dương và một họ nghiệm là $(x;y;z)=(2t+1,2t,2.3^t)$ trong đó $t\in \mathbb{Z}^{+}$. Từ đó ta có điều phải chứng minh.
Kết thúc bài viết, mình xin đưa ra một số bài tập để các bạn có thể thấy rõ hơn hiệu quả của phương pháp này.
Bài 1 : (Italy 1996) Chứng minh rằng phương trình $a^{2}+b^{2}=c^{2}+3$ có vô số nghiệm nguyên.
Bài 2 : (Canada 1991) Chứng minh rằng phương trình $x^{2}+y^{3}=z^{5}$ có vô số nghiệm nguyên dương.
Bài 3 (Cải biên từ đề nghị Olympic 30-4 THPT Chuyên Lương Thế Vinh Đồng Nai)
Chứng minh rằng tồn tại vô số các nguyên dương $n$ sao cho :
$$\frac{1^{2}+2^{2}+3^{2}+...+n^{2}}{n}$$ là một số chính phương.
Bài 4 : (Brazil 1994) Chứng minh rằng phương trình $a^{3}+1990b^{3}=c^{4}$ có vô số nghiệm nguyên.
Bài 5 : Chứng minh rằng phương trình $19x^{2}+5y^{9}+1890z^{1945}=t^{2003}$ có vô số nghiệm nguyên dương
Bài 6 : Chứng minh rằng phương trình $\left \{ x^{2} \right \}+\left \{ y^{2} \right \}=\left \{ z^{2} \right \}$ có vô số nghiệm trên tập $\mathbb{Q}\setminus \mathbb{Z}$.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Juliel: 14-09-2013 - 19:48