Bài 1 : Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn nội tiếp đường tròn tâm O ( AB<AC) . Vẽ 2 đường cao AD và CE của tam giác ABC . Tiếp tuyến tại A của (O) cắt BC tại M . Từ M kẻ tiếp tuyến thứ hai đến (O) ( N là tiếp điểm ) . Vẽ CK vuông góc với AN tại K . Chứng minh : DK đi qua trung điểm của đoạn thẳng BE
Bài 2 : Cho đường tròn tâm O , đường kính AB . Trên đường tròn lấy 1 điểm C sao cho AC>BC.Vẽ CH vuông góc với AB tại H , CH cắt (O) tại K . Kẻ tiếp tuyến Ax tại A của (O) . Đường thẳng qua O vuông góc với OC cắt Ax tại M . Đường thẳng qua C vuông góc với BM cắt OK tại N .Chứng minh :KN =2ON
Bài 3 : Từ 1 điểm A ngoài (O:R) sao cho OA>2R. Vẽ 2 tiếp tuyến ( B,C là tiếp điểm ) . Vẽ đường kính CD , OA cắt BC tại H , OA cắt (O) tại G ( G thuộc cung nhỏ BC) . Gọi I là giao điểm cùa HD và AB , M là giao điểm của BC và AD , IM cắt AH tại N
1/Chứng minh : N là trung điểm của AH
**2/Trên cung nhỏ CG lấy 1 điểm E bất kỳ . Gọi K là giao điểm của AD với (O ) , CK cắt OA tại P . Chứng minh : EG là phân giác của góc PEN
Bài 4 : Cho tam giác ABC cỏ 3 góc nội tiếp (O) AB<AC . Vẽ 3 đường cao AD,BE,CF của tam giác ABC cắt nhau tại H. Đường thẳng EF cắt (O) tại M và N ( M thuộc cung nhỏ AB ) . Gọi I là trung điểm của BC , MI cắt (O) tại K . Chứng minh : AK vuông góc với HN
Bài 5 : Từ 1 điểm A ngoài (O:R)) , vẽ tiếp tuyến AM đến (O ) với M là tiếp điểm . Vẽ đường tròn tâm A, bán kính AO cắt đường tròn (O) tại 2 điểm P và Q . Chứng minh : PQ đi qua trung điểm của OM
Bài 6 : Từ 1 điểm A ngoài (O:R) vẽ tiếp tuyến MA đến (O ) với M là tiếp điểm . Vẽ đường tròn tâm M , bán kính MO cắt đường tròn (O) tại P và Q . Chứng minh : PQ đi qua trung điểm của OM
Lưu ý : bài 5 và bài 6 tương tự na ná giống nhau
Bài 7 : Từ 1 điểm A ngoài (O:R) sao cho OA>2R. Vẽ 2 tiếp
Tuyến ( B,C là tiếp điểm ) , OA cắt BC tại H . Vẽ CK vuông góc với CK vuông góc với AB tại K , HK cắt BM tại I , vẽ đường kính CD , CI cắt (O) tại E . Chứng minh : 3 điểm A,E,D thẳng hàng
Bài 8 : Từ 1 điểm A ngoài (O:R) sao cho OA > 2R , vẽ 2 tiếp tuyến ( B,C là tiếp điểm ) . Vẽ dây cung CM song song với AB , AM cắt (O) tại N . Gọi I là trung điểm OA . Chứng minh : Tam giác BNI vuông tại N
Bài 9 : Cho đường tròn tâm (O), đường kính AB . Trên đường tròn lấy 1 điểm C sao cho BC>AC. Các tiếp tuyến tại A và tại C của (O) cắt nhau tại D , DC cắt AB tại E . Qua E kẻ đường thẳng song song với AD cắt BD và AC lần lượt tại M và N . Đường thẳng qua M vuông góc với BN cắt AE tại I . Chứng minh : I là trung điểm của AE
Bài 10 : Từ 1 điểm A ngoài (O:R). Vẽ 2 tiếp tuyến ( B,C là tiếp điểm ) và 1 cát tuyến ADE không qua O ( AD<AE) . Vẽ EK vuông góc với BC tại K , DK cắt (O) tại M . Vẽ dây cung MN song song với BC . Vẽ đường kính EF.Chứng minh : 3 điểm A,F,N thẳng hàng
Bài 11 : Từ 1 điểm A ngoài (O:R), vẽ 2 tiếp tuyến (B,C là tiếp điểm ) , OA cắt BC tại H . Vẽ 1 cát tuyến ADE đến (O) ( D và C nằm ở 2 mặt phẳng bờ OA khác nhau , AD<AE , góc BCE > góc BCO . Vẽ BM vuông góc với AE tại M , vẽ HN vuông góc với EC tại N . Đường thẳng qua M vuông góc với MN cắt OC tại I .Chứng minh : Tứ giác EIMC nội tiếp
Bài 12 : Từ 1 điểm A ngoài (O:R) , vẽ 2 cát tuyến ADE và AMN đến (O ) ( AD<AE,AM<AN ) . Từng cặp tiếp tuyến tại D và E , tại M và N cắt nhau tại P và Q . Chứng minh : PQ vuông góc với OA
Bài 13 : Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn ( AB<AC). Vẽ 3 đường cao AD,BE,CF của tam giác ABC cắt nhau tại H , EF cắt BC tại M . Từ B kẻ đường thẳng song song với AD cắt AM tại N . Chứng minh : NC đi qua trung điểm của AD
Bài 14 : Cho đường tròn tâm O , đường kính AB . Trên tia đối tia AB lấy 1 điểm C( A nẳm giữa B và C ).Trên đường thẳng vuông góc với BC tại C lấy 1 điểm D bất kỳ. Từ D kẻ tiếp tuyến DE đến (O) ( E là tiếp điểm , D và E nẳm ở cùng mặt phẳng bờ BC ) , EC cắt (O ) tại I . Đường thẳng qua E vuông góc với OD cắt AB tại M . Chứng minh : AI là phân giác của góc CIM
Bài 15 : Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn nội tiếp (O )
.Các tiếp tuyến tại B và C của (O) cắt nhau tại D , 1 đường thẳng vuông góc với OA cắt AB tại M và cắt AC tại N . Chứng minh : AD đi qua trung điểm của MN
Bài 16 : Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn nội tiếp (O) có 3 đường cao AD,BE,CF cắt nhau tại H . Mọi M và N lần lượt là trung điểm của BF và CE , MN cắt BE tại P và cắt CF tại Q . Chứng tỏ : tứ giác PDQH nội tiếp
Bài 17 : Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn nội tiếp đường tròn O ( AB<AC) có 3 đường cao AD,BE,CF cắt nhau tại H , EF cắt BC tại M và cắt AD tại I, AM cắt (O) tại N . Chứng minh : NI là phân giác của góc END
Bài 18 : Từ 1 điểm A ngoài (O:R) , vẽ 2 tiếp tuyến ( B,C là tiếp điểm ) và 1 cát tuyến ADE đến (O ) sao cho AD<AE. Đường thẳng qua C song song với AB cắt BE và BD lần lượt tại M và N .Chứng minh : C là trung điểm của MN
Bài 19 : Từ 1 điểm A ngoài (O:R) , vẽ tiếp tuyến AB đến (O) với B là tiếp điểm ) và 1 cát tuyến ADE đến (O) sao cho AD<AE. Vẽ đường kính BM , 2 tia DM và EM cắt OA lần lượt tại K và H . Chứng minh : O là trung điểm của HK
Bài 20 : Từ 1 điểm A ngoài (O:R) sao cho OA=2R , vẽ 2 tiếp tuyến (B,C là tiếp điểm ) . Vẽ đường kính CD . Gọi E là điểm đối xứng D qua B , OA cắt BC tại H , AD cắt (O) tại M . Chứng tỏ : 3 điểm H,M,E thẳng hàng
Bài 21 : Từ 1 điểm A ngoài (O:R) , vẽ 2 tiếp tuyến ( B,C là tiếp điểm ) , OA cắt BC tại H .Dựng hình bình hành HOBM
Vẽ đường kính CD , AD cắt (O) tại E . Chứng minh : BE vuông góc với OM
Bài 22 : Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn nội tiếp (O:R) vẽ đường cao AD. Tia phân giác của góc BAC cắt (O ) tại M . Chứng minh : AM2-BM2=AH.2R
Bài 23 : Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn có 3 đường cao AD,BE,CF cắt nhau tại H . Gọi R là bán kính đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC . Chứng minh
1/ AB.AC.BC = 2R2
DE+DF+EF
2/ AB2+AC2+BC2+AH2+BH2+CH2=12R2
3/ DF = BH.AC
DE AB.HC
Bài 24 : Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O ) . Gọi M,N,P,Q lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp của các tam giác OAD , OBC , ODC , OAB . Chứng minh : Tứ giác MNPQ nội tiếp
Bài 25 : Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn O có 2 đường chéo AC và BD vuông góc với nhau tại H . Trên AD lấy 1 điểm M sao cho AM=2DM và N là trung điểm của BH . Chứng minh : MH vuông góc với NC
( trích Đề thi TS lớp 10 chuyên TPHCM năm học 2012-2013)
Bài 26 : Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn nội tiếp đường tròn (O) , 1 đường thẳng vuông góc với OA cắt AB và AC lần lượt tại M và N ( AM<AB,AN<AC) .Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác AMN và E là trực tâm của tam giác BIC . Chứng minh : 3 điểm A,I,E thẳng hàng
Bài 27 : Cho đường tròn O có dây cung BC bất kỳ . Trên BC lấy 1 điểm D bất kỳ . Vẽ đường tròn tâm D bán kính BD và đường tròn tâm D bán kính CD . 2 đường tròn này cắt đường tròn O lần lượt tại E và F . Chứng minh : 3 điểm E,D,F thẳng hàng
Bài 28 : Cho đường tròn tâm O , đường kính AB . Trên đường tròn lấy 1 điểm C sao cho AC>BC. Các tiếp tuyến tại A và tại C cắt nhau tại D. Vẽ CH vuông góc với AB tại H và I là trung điểm của AH . Chứng minh : BD vuông góc với IC
Bài 29 : Cho đường tròn tâm O , đường kính AB . Trên đường tròn lấy 1 điểm C bất kỳ . Vẽ CH vuông góc với AB tại H . Đường tròn tâm C bán kính CH cắt đường tròn (O) tại P và Q .Chứng minh : PQ đi qua trung điểm của CH
1 điều thú vị : các bài toán số 5,6 đều được khai thác từ bài toán số 29
Bài 30 :Cho đường tròn tâm (O ) , đường kính AB . Trên đường tròn lấy 1 điểm C bất kỳ . Tiếp tuyến tại C của (O ) cắt AB tại D .vẽ CH vuông góc với AB tại H ,Chứng minh
1 + 1 = 2….
BD AD HD
BÀI TOÁN ĐẶC BIỆT
Bài 31 : Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn nội tiếp (O) có 2 đường cao BE và CF cắt nhau tại H . Đường thẳng BE và CF cắt (O) lần lượt tại M và N . Trên cung nhỏ BC lấy 1 điểm I bất kỳ , IN cắt AB tại P và IM cắt AC tại Q . Chứng minh : 3 điểm P,H,Q thẳng hàng
Bài 32 : Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn nội tiếp đường tròn (O) có 2 đường trung tuyến BM và CN cắt nhau tại G .Đường thẳng BM và CN cắt (O) lần lươt tại D và E . Trên cung nhỏ BC lấy 1 điểm I bất kỳ , IE cắt AB tại P và ID cắt AC tại Q . Chứng minh : 3 điểm P,G,Q thẳng hàng
Bài 33 : Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn nội tiếp (O) có 2 đường phân giác BM và CN của tam giác ABC cắt nhau tại K . Đường thẳng BM và CN cắt (O) tại E và F . Trên cung nhỏ BC lấy 1 điểm I bất kỳ , IF cắt AB tại P và IE cắt AC tại Q .Chứng minh : 3 điểm P,K,Q thẳng hàng
Lưu ý : bài toán số 32 và 33 được khai thác và mở rộng từ bài toán số 31 , một điều thú vị nữa là các bài toán 31,32,33 có nội dung tương đối giống nhau
Bài 34 : Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn nội tiếp đường tròn (O) vẽ đường cao AD của tam giác ABC . Vẽ tia tiếp tuyến Ax tại A của (O) .Vẽ CM vuông góc với Ax tại M . Đường thẳng qua M vuông góc với DM cắt AD tại N . Gọi H là trực tâm của tam giác ABC . Chứng minh : AN=DH
Bài 35 : Từ 1 điểm A ngoài (O:R) vẽ 2 tiếp tuyến (B,C là tiếp điểm và 1 cát tuyến ADE đến (O) AD<AE . Từ D kẻ đường thẳng song song với BC cắt AB tại M . Gọi I là giao điểm của BC và DE . Chứng minh : ME đi qua trung điểm của BI
Bài 36 : Từ 1 điểm A ngoài (O:R) vẽ 2 tiếp tuyến ( B,C là tiếp điểm ) và 1 cát tuyến ADE đến (O)AD<AE . Vẽ EM vuông góc với BC tại M , vẽ EN vuông góc với OA tại N .Chứng minh : MN đi qua trung điểm của DE
Bài 37 : Cho đường tròn tâm O , đường kính AB . Trên đường tròn lấy 1 điểm C sao cho AC>BC.Các tiếp tuyến tại A và tại C của (O) cắt nhau tại D , BD cắt (O) tại E . Vẽ CH vuông góc với AB tại H, I là giao điểm của DH và AE . Tiếp tuyến tại E của (O) cắt AD tại M . Chứng minh : 3 điểm M,I,C thẳng hàng
