Đề thi chọn học sinh giỏi toán 11-12 năm 2013-2014
Ngày thi thứ nhất
Thời gian làm bài:240 phút
Bài 1: Tìm tất cả các số nguyên tố $p$ sao cho tồn tại số tự nhiên $n$ để số
$A=2+n+n^{2}+...+n^{p-1}$
là lũy thừa bậc 5 của một số nguyên dương.
Bài 2:Cho các số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn $ab+bc+ca=1$.Chứng minh rằng
$\frac{1}{c\sqrt{a^{2}+b^{2}}}+\frac{1}{a\sqrt{b^{2}+c^{2}}}+\frac{1}{b\sqrt{c^{2}+a^{2}}}\geq \frac{9}{2\sqrt{2}-3\sqrt{6}abc}$
Bài 3:Cho tam giác $ABC$ nhọn,không cân.Dựng hình chữ nhật $MNPQ$ có $M$ thuộc đoạn $AB$,$N$ thuộc đoạn $AC$,$P,Q$ thuộc đoạn $BC$ sao cho $P$ nằm giữa $Q,C$ và $\widehat{MNQ}=\frac{1}{2}\widehat{BAC}$.Đường thẳng qua $A$ vuông góc $AB$ cắt $NP$ tại $K$.Đường thẳng qua $A$ vuông góc $AC$ cắt $MQ$ tại $L$.$CL$ cắt $NP$ tại $E$,$BK$ cắt $MQ$ tại $F$.Chứng minh rằng $AE=AF$.
Bài 4:Ta xếp một hoán vị của ${1,2,...,2014}$ lên một vòng tròn và kí hiệu bởi $a_{1},a_{2},...,a_{2014}$ theo chiều kim đồng hồ.Quy ước $a_{2015}=a_{1},a_{2014}=a_{0}$.
Gọi $N$ là số các chỉ số $1\leq i\leq 2014$ soa cho hoặc $a_{i-1}< a_{i}< a_{i+1}$ hoặc $a_{i-1}> a_{i}> a_{i+1}$.Tìm tất cả các giá trị có thể của $N$.
============================================================
Ngày thi thứ hai
Thời gian làm bài:240 phút
Bài 1:Cho dãy số ${a_{n}}$ xác định bởi: $a_{1}=2,a_{2}=10$
$a_{n+2}=\frac{8a_{n+1}^{2}-a_{n+1}a_{n}}{a_{n+1}+a_{n}}$
1) Chứng minh rằng dãy trên là dãy số nguyên.
2)Tìm $\lim \sum_{k=1}^{n}\frac{(-1)^{k}}{a_{k+1}+a_{k}+3}$
Bài 2:Tìm các đa thức $P(x)$ hệ số thực sao cho
$P^{2}(x)+P^{2}(\frac{1}{x})=P(x^{2})P(\frac{1}{x^{2}})$
Bài 3:Cho tam giác $ABC$ với $AC>AB$.Phân giác trong góc $A$ cắt $BC$ tại $D$.$E$ là điểm nằm giữa $B,D$ sao cho $\frac{ED}{EA}=\frac{AC-AB}{AC+AB}$.Gọi $K,L$ là tâm nội tiếp các tam giác $EAB,EAC$.Gọi $P,Q$ là tâm ngoại tiếp các tam giác $KAB$ và $LAC$.Chứng minh rằng $PQ//KL$.
Bài 4:Tìm tất cả các số nguyên dương $k$ sao cho tồn tại hoán $(a_{1},a_{2},...,a_{2013})$ của $(1,2,3,...2013)$ thỏa mãn $k|2014+a_{i}-i$ với mọi $1\leq i\leq 2013$.
HẾT