Chủ đề này có 1 trả lời

[Rias Gremory]

Cho x,y,z là các số thực không âm bất kì. Tìm Max của:

$P=\sum \frac{x^{2}}{4x^{3}+3yz+2}$

[nhatduy01]

Cho x,y,z là các số thực không âm bất kì. Tìm Max của:

$P=\sum \frac{x^{2}}{4x^{3}+3yz+2}$

Theo AM-GM ta có 

                         $4x^{3}+2=2(x^{3}+x^{3}+1)\geq 6x^{2}$

Nếu cả 3 số x,y,z đều bằng $0$ thì $P=0$

Nếu có 2 trong 3 số x,y,z bằng 0 ,chẳng hạn $y=z=0$ thì $P=\frac{x^{2}}{4x^{3}+2}\leq \frac{1}{6}$

Nếu có 1 trong 3 số x,y,z bằng 0 , chẳng hạn $z=0$ thì 

                                       $P=\frac{x^{2}}{4x^{3}+2}+\frac{y^{2}}{4y^{3}+2}\leq \frac{1}{6}+\frac{1}{6}=\frac{1}{3}$

Đẳng thức xảy ra khi $x=y=1$

Xét cả 3 số $x,y,z$ dều dương

    Ta có $\frac{x^{2}}{4x^{3}+3yz+2}\leq \frac{x^{2}}{6x^{2}+3yz}$

    lập các bđt tương tự cộng lại ta có $P\leq\sum \frac{x^{2}}{6x^{2}+3yz}=\frac{1}{3}(\sum \frac{1}{2+\frac{yz}{x^{2}}})$

Đặt $a=\frac{yz}{x^{2}},b=\frac{zx}{y^{2}},c=\frac{xy}{z^{2}}$ thì $a,b,c>0$ và $abc=1$

Khi đó $P\leq \frac{1}{3}(\sum \frac{1}{2+a})=\frac{1}{3}(\frac{12+4(\sum a)+\sum ab}{9+4(\sum a)+2(\sum ab)})$

 Có $\sum ab\geq 3$ (AM-GM)

       $\Rightarrow 9+4\sum a+2\sum ab\geq 12+4\sum a+\sum ab$

              $\Rightarrow P\leq \frac{1}{3}$

Đẳng thức xảy ra khi $x=y=z=1$

  Vậy mã của $P$ bằng $\frac{1}{3}$ khi trong 3 số $x,y,z$ có 2 số bằng 1 và số còn lại bằng 0,hoặc cả 3 số bằng 1