1. Số Bernoulli và Đa thức Bernoulli
1.1. Định nghĩa
Số Bernoulli $B_k \quad (k=1,\, 2,\,3,...)$ là những hệ số thỏa mãn khai triển chuỗi sau:
$\displaystyle \dfrac{x}{e^x-1} =\sum_{k=0}^\infty \dfrac{B_k}{k!}x^k$
1.2. Khai triển của các số Bernoulli
$\tag{1.1}\dfrac{x}{e^x-1}=\dfrac{B_0}{0!}+\dfrac{B_1}{1!}x+\dfrac{B_2}{2!}x^2+\dfrac{B_3}{3!}x^3+\dfrac{B_4}{4!}x^4+...$
$\tag{1.2}\dfrac{e^x-1}{x}=\dfrac{1}{1!}+\dfrac{x}{2!}+\dfrac{x^2}{3!}+\dfrac{x^3}{4!}+\dfrac{x^4}{5!}+...$
Nhân vế với vế của khai triển (1.1) và (1.2) ta được,
$1=B_0 +\left(\dfrac{B_1}{1!1!}+\dfrac{B_0}{0!2!}\right)x +\left(\dfrac{B_2}{2!1!}+\dfrac{B_1}{1!2!}+\dfrac{B_0}{0!3!}\right)x^2+...$
Khi đó hệ số của $x^i\;\; (i\ge 1)$ là bằng $0$,
$B_0=1,\quad \dfrac{B_1}{1!1!}+\dfrac{B_0}{0!2!}=0,\quad \dfrac{B_2}{2!1!}+\dfrac{B_1}{1!2!}+\dfrac{B_0}{0!3!}=0,\quad ...$
Hệ số của $x^n$ là:
$\dfrac{B_n}{n!1!}+\dfrac{B_{n-1}}{(n-1)!2!}+\dfrac{B_{n-2}}{(n-2)!3!}+...+\dfrac{B_{1}}{(1)!n!}+\dfrac{B_{0}}{(0)!(n+1)!}=0$
Nhân cả hai vế với $(n+1)!$ và dùng ký hiệu số nhị thức, ta được:
${n+1\choose n}B_n +{n+1\choose n-1}B_{n-1} +{n+1\choose n-2}B_{n-2}+... +{n+1\choose 1}B_1 +{n+1\choose 0}B_0=0$
Thay $n+1$ bởi $n$,
$\tag{1.3} {n\choose n-1}B_{n-1} +{n\choose n-2}B_{n-2} +{n\choose n-3}B_{n-3}+... +{n\choose 1}B_1 +{n\choose 0}B_0=0$
Từ $(1.3)$ thay lần lượt $n=2,3,4, ...$ ta tính dần được các số Bernoulli, ta có:
${2\choose 1}B_1+{2\choose 0}B_0=0\qquad\Rightarrow B_1=-\dfrac{1}{2}$
${3\choose 2}B_2+{3\choose 1}B_1+{3\choose 0}B_0=0\Rightarrow B_2=\dfrac{1}{6}$
Một vài số Bernoulli đầu tiên:
$B_0=1,\;B_2=\dfrac{1}{6},\;B_4=-\dfrac{1}{30},\;B_6=\dfrac{1}{42},\;B_8=-\dfrac{1}{30},\;B_{10}=\dfrac{5}{66},...$
$B_1=-\dfrac{1}{2},\; B_3=B_5=B_7=...=0$
1.3. Tính các số Bernoulli như thế nào?
1.3.1. Phương pháp tính dần dần.
Nói chung phương pháp này được tính theo công thức $(1.3)$ bằng cách thay thế $n=2,3,4,...$ ta sẽ tìm được từng số Bernoulli một. Cách tính này chỉ phù hợp với các số Bernoulli nhỏ, và rất khó có thể tính được số Bernoulli lớn.
1.3.2. Phương pháp tính tổng kép
Các số Bernoulli tổng quát được tính thông qua tổng có chứa hệ số nhị thức như sau:
$\displaystyle B_n=\sum_{k=0}^n \dfrac{1}{k+1}\sum_{r=0}^k (-1)^r {k\choose r}r^n$
Một vài giá trị của tổng này:
$B_0=\dfrac{1}{1} {0\choose 0} 0^0$
$B_1=\dfrac{1}{1} {0\choose 0} 0^1+\dfrac{1}{2}\left({1\choose 0}0^1-{1\choose 1}1^1\right)$
$B_2=\dfrac{1}{1} {0\choose 0} 0^2+\dfrac{1}{2}\left({1\choose 0}0^2-{1\choose 1}1^2\right)+\dfrac{1}{3}\left({2\choose 0}0^2-{2\choose 1}1^2+{2\choose 2}2^2\right)$
$\quad\vdots$
Tuy công thức này có thể tính trực tiếp một số Bernoulli bất kỳ, nhưng với $n$ lớn dần thì khối lượng tính toán còn tăng lên gấp bội.
1.4. Đa thức Bernoulli
1.4.1. Định nghĩa
Với $B_n$ là các số Bernoulli, đa thức $B_n(x)$ thỏa mãn ba điều kiện sau thì được gọi là đa thức Bernoulli
$\left\{\begin{array}{ll} B_0(x)=1&\\ \dfrac{d}{dx}B_n(x)=nB_{n-1}(x)&(n\ge 1)\\ \int_0^1 B_n(x)dx=0&(n\ge 1)\end{array}\right.$
1.4.2. Tính chất
Các tính chất sau đây được suy ra từ định nghĩa
$B_n(x)=n\int_0^x B_{n-1}(t)dt +B_n\quad (n\ge 1)$
$\displaystyle B_n(x)=\sum_{k=0}^n {n\choose k}B_{n-k}x^k=\sum_{k=0}^n {n\choose k}B_{k}x^{n-k}$
$B_n(0)=B_n$
$B_n(1)=B_n(0)\qquad (n\ge 2)$
$B_n(x+1)-B_n(x)=nx^{n-1}\quad (n\ge 1)$
$B_n(1-x)=(-1)^nB_n(x)\quad (n\ge 1)$
Ngoài ra, người ta còn nhắc đến tính chất sau mặc dù không trực tiếp suy ra từ định nghĩa:
Với số tự nhiên $m$ và $x$ thuộc đoạn $[0,1]$
$\left|B_{2m}(x)\right|\le \left|B_{2m}\right|$
$\left|B_{2m+1}(x)\right|\le (2m+1)\left|B_{2m}\right|$
Ví dụ:
$B_1(x) =x-\dfrac{1}{2},\quad B_2(x) =x^2-x+\dfrac{1}{6},\quad B_3(x)=x^3-\dfrac{3}{2}x^2+\dfrac{1}{2}x,$
$B_4(x) =x^4-2x^3+x^2-\dfrac{1}{30},\qquad B_5(x) =x^5 -\dfrac{5}{2}x^4+\dfrac{5}{3}x^3-\dfrac{1}{6}x,$
$B_6(x) =x^6-3x^5+\dfrac{5}{2}x^4-\dfrac{1}{2}x^2+\dfrac{1}{42},$
$B_7(x) =x^7-\dfrac{7}{2}x^6+\dfrac{7}{2}x^5-\dfrac{7}{2}x^3+\dfrac{1}{6}x,$
$B_8(x) =x^8-4x^7+\dfrac{14}{3}x^6-\dfrac{7}{3}x^4+\dfrac{2}{3}x^2-\dfrac{1}{30},$
$B_9(x) =x^9-\dfrac{9}{2}x^8+6x^7-\dfrac{21}{5}x^5+2x^3-\dfrac{3}{10}x,$
$B_{10}(x)=x^{10}-5x^9+\dfrac{15}{2}x^8-7x^6+5x^4-\dfrac{2}{3}x^2+\dfrac{5}{66}, ...$
1.5. Khai triển Fourier của đa thức Bernoulli
Đa thức Bernoulli $B_n(x)$ có thể khai triển thành chuỗi Fourier trên đoạn $0\le x\le 1$. Điều này cũng có nghĩa là Đa thức Bernoulli $B_m(x-\lfloor x\rfloor)$ có thể khai triển thành chuỗi Fourier trên $x\ge 0$.
Công thức 1.5
Với $m$ là số tự nhiên, $\lfloor x\rfloor$ là hàm phần nguyên và $B_m$ là số Bernoulli,
$$B_m(x-\lfloor x\rfloor)= -2m! \sum_{s=1}^\infty \dfrac{1}{(2\pi s)^m} \cos\left(2\pi sx-\frac{m\pi}{2}\right)\qquad (x\ge 0)$$
Chứng minh:
Ta có công thức sau (Công thức này được giới thiệu trong phần "Hàm sinh đa thức Bernoulli", sẽ giới thiệu cho bạn đọc vào một dịp khác), ta có:
$B_m(x)= -2m! \sum_{s=1}^\infty \dfrac{1}{(2\pi s)^m} \cos\left(2\pi sx-\frac{m\pi}{2}\right)\qquad (0\le x\le 1)$
Từ $B_m(x-\lfloor x\rfloor)=B_m(x)$ trên $0\le x<1$, ta có
$B_m(x-\lfloor x\rfloor)= -2m! \sum_{s=1}^\infty \dfrac{1}{(2\pi s)^m} \cos\left(2\pi sx-\frac{m\pi}{2}\right)\qquad (0\le x< 1)$
Trên $1\le x<2$ thì, thay $x$ bởi $x+1$
$LEFT:\;\;B_m(x+1-\lfloor x+1\rfloor)=B_m(x-\lfloor x\rfloor)$
$RIGHT:\;\;-2m! \sum_{s=1}^\infty \dfrac{1}{(2\pi s)^m} \cos\left(2\pi s(x+1)-\frac{m\pi}{2}\right)=-2m! \sum_{s=1}^\infty \dfrac{1}{(2\pi s)^m} \cos\left(2\pi sx-\frac{m\pi}{2}\right) $
Như vậy công thức đúng trên đoạn $1\le x< 2$
Bằng quy nạp ta có công thức đúng trên đoạn $n\le x<n+1$ với $n$ bất kỳ. Suy ra điều cần chứng minh.
2. Công thức tổng Euler-Maclaurin
Công thức 2.1
Với $f(x)$ là một hàm khả vi đến bậc $m$ trên đoạn $[a,b],\;\lfloor x\rfloor$ là hàm phần nguyên, $B_r$ là số Bernoulli và $B_n(x)$ là đa thức Bernoulli, ta có công thức sau:
$\tag{2.1}\sum_{k=a}^{b-1}f(k)=\int_a^b f(x)dx + \sum_{r=1}^m \dfrac{B_r}{r!}\left(f^{(r-1)}(b)-f^{(r-1)}(a)\right)+R_m$
$\tag{2.1r} R_m=\dfrac{(-1)^{m+1}}{m!}\int_a^b B_m(x-\lfloor x\rfloor) f^{(m)}(x)dx$
$\tag{2.1r'}\quad = (-1)^m 2\int_a^b\left(\sum_{s=1}^\infty \dfrac{1}{(2\pi s)^m}\cos\left(2\pi sx-\frac{m\pi}{2}\right)\right)f^{(m)}(x)dx$
Chứng minh:
Ta có: $B_0(x)=1,\quad \int_0^x B_n(x)dx=\dfrac{1}{n+1}\left(B_{n+1}(x)-B_{n+1}\right)$
$B_{n+1}(1)=B_{n+1}(0)=B_{n+1}$
Do đó:
\begin{align*}\int_0^1 f(x)dx &=\int_0^1 B_0(x)f(x)dx\\ &=\dfrac{1}{1!}\left[B_1(x)f(x)\right]_0^1-\int_0^1\dfrac{B_1(x)}{1!}f^{\,'}(x)dx\\ &=\dfrac{1}{1!}\left[B_1(x)f(x)\right]_0^1 -\dfrac{1}{2!}\left[B_2(x)f^{\,'}(x)\right]_0^1+\int_0^1\dfrac{B_2(x)}{2!}f^{\,''}(x)dx \\&=\dfrac{1}{1!}\left[B_1(x)f(x)\right]_0^1 -\dfrac{1}{2!}\left[B_2(x)f^{\,'}(x)\right]_0^1+\dfrac{1}{3!}\left[B_3(x)f^{\,''}(x)\right]_0^1-\int_0^1 \dfrac{B_3(x)}{3!}f^{\,'''}(x)dx\\ &\;\vdots\\ &=\sum_{r=1}^m \dfrac{(-1)^{r-1}}{r!}\left[B_r(x)f^{(r-1)}(x)\right]_0^1 + (-1)^m \int_0^1 \dfrac{B_m(x)}{m!}f^{(m)}(x)dx \end{align*}
Trong đó,
$\left[B_1(x)f(x)\right]_0^1=\left(1-\dfrac{1}{2}\right)f(1)-\left(0-\dfrac{1}{2}\right)f(0)=\dfrac{1}{2}\left(f(1)+f(0)\right)$
và
$(-1)^{r-1}B_r(1)=(-1)^{r-1}B_r(0)=-B_r,\quad$ với $r\ge 2$
Do đó,
$(-1)^{r-1}\left[B_r(x)f^{(r-1)}(x)\right]_0^1=-B_r\left(f^{(r-1)}(1)-f^{(r-1)}(0)\right)$
Thay vào biểu thức trên ta có:
$\int_0^1 f(x)dx=\dfrac{1}{2}\left(f(1)+f(0)\right)-\sum_{r=2}^m \dfrac{B_r}{r!}\left(f^{(r-1)}(1)-f^{(r-1)}(0)\right) $
$\qquad\qquad+\dfrac{(-1)^m}{m!}\int_0^1 B_m(x)f^{(m)}(x)dx $
Thay $f(x)$ bởi $f(x+k)$, ta được:
$\int_0^1 f(x+k)dx=\dfrac{1}{2}\left(f(k+1)+f(k)\right)-\sum_{r=2}^m \dfrac{B_r}{r!}\left(f^{(r-1)}(k+1)-f^{(r-1)}(k)\right) $
$\qquad\qquad+\dfrac{(-1)^m}{m!}\int_0^1 B_m(x)f^{(m)}(x+k)dx $
đó là:
$\int_k^{k+1}f(x)dx=\dfrac{1}{2}\left(f(k+1)+f(k)\right)-\sum_{r=2}^m \dfrac{B_r}{r!}\left(f^{(r-1)}(k+1)-f^{(r-1)}(k)\right) $
$\qquad\qquad+\dfrac{(-1)^m}{m!}\int_k^{k+1} B_m(x-k)f^{(m)}(x)dx $
Lần lượt cho $k=a$ cho đến $k=b-1$, cộng lại ta được:
$\int_a^b f(x)dx=\dfrac{1}{2}\sum_{k=a}^{b-1}\left(f(k+1)+f(k)\right)-\sum_{r=2}^m\dfrac{B_r}{r!}\sum_{k=a}^{b-1}\left(f^{(r-1)}(k+1)-f^{(r-1)}(k)\right)$
$\qquad\qquad +\dfrac{(-1)^m}{m!}\sum_{k=a}^{b-1}\int_k^{k+1}B_m(x-k)f^{(m)}(x)dx$
trong đó:
$\sum_{k=a}^{b-1}\left(f^{(r-1)}(k+1)-f^{(r-1)}(k)\right)=f^{(r-1)}(b)-f^{(r-1)}(a)$
$\sum_{k=a}^{b-1}\left(f(k+1)+f(k)\right) + f(a)+f(b)=2\sum_{k=a}^b f(k)$
$B_m(x-k)=B_m(x-\lfloor x\rfloor)\qquad (k\le x\le k+1)$
Do đó:
$\int_a^b f(x)dx=\sum_{k=a}^b f(k) -\dfrac{1}{2}\left(f(a)+f(b)\right)-\sum_{r=2}^m \dfrac{B_r}{r!}\left(f^{(r-1)}(b)-f^{(r-1)}(a)\right)$
$\qquad\qquad + \dfrac{(-1)^m}{m!}\int_a^b B_m(x-\lfloor x\rfloor)f^{(m)}(x)dx$
Hay
$\sum_{k=a}^b f(k) =\int_a^b f(x)dx +\dfrac{1}{2}\left(f(a)+f(b)\right) + \sum_{r=2}^m \dfrac{B_r}{r!}\left(f^{(r-1)}(b)-f^{(r-1)}(a)\right)$
$\qquad\qquad - \dfrac{(-1)^m}{m!}\int_a^b B_m(x-\lfloor x\rfloor)f^{(m)}(x)dx$
Giản lược bớt $f(b)$ ở cả hai vế thì được:
$\sum_{k=a}^{b-1} f(k)=\int_a^b f(x)dx -\dfrac{1}{2}\left(f(b)-f(a)\right) + \sum_{r=2}^m \dfrac{B_r}{r!}\left(f^{(r-1)}(b)-f^{(r-1)}(a)\right)$
$\qquad\qquad - \dfrac{(-1)^m}{m!}\int_a^b B_m(x-\lfloor x\rfloor)f^{(m)}(x)dx$
Mà $B_1=-\dfrac{1}{2}$ nên số hạng $-\dfrac{1}{2}\left(f(b)-f(a)\right)$ tương ứng với số hạng của tổng khi $r=1$
Suy ra:
$\sum_{k=a}^{b-1} f(k)=\int_a^b f(x)dx + \sum_{r=1}^m \dfrac{B_r}{r!}\left(f^{(r-1)}(b)-f^{(r-1)}(a)\right)$
$\qquad\qquad + \underbrace{\dfrac{(-1)^{m+1}}{m!}\int_a^b B_m(x-\lfloor x\rfloor)f^{(m)}(x)dx}_{R_m}$
Vậy $(2.1);\;(2.1r)$ được chứng minh.
Cuối cùng là áp dụng công thức $(1.5)$
$B_m(x-\lfloor x\rfloor)=-2m!\sum_{s=1}^\infty \dfrac{1}{(2\pi s)^m}\cos\left(2\pi sx=\frac{m\pi}{2}\right)\qquad x\ge 0$
cho $(2.1r)$, ta có:
$R_m=(-1)^m 2\int_a^b \sum_{s=1}^\infty\dfrac{1}{(2\pi s)^m}\cos\left(2\pi sx-\frac{m\pi}{2}\right)f^{(m)}(x)dx$
$Q.E.D$
Công thức 2.2
Với $f(x)$ là một hàm khả vi đến bậc $2m$ trên đoạn $[a,b],\;\lfloor x\rfloor$ là hàm phần nguyên, $B_r$ là số Bernoulli và $B_n(x)$ là đa thức Bernoulli, ta có công thức sau:
$\sum_{k=a}^{b-1}f(k)=\int_a^b f(x)dx -\dfrac{1}{2}\left(f(b)-f(a)\right) $
$\tag{2.2}+ \sum_{r=2}^m \dfrac{B_{2r}}{(2r)!}\left(f^{(2r-1)}(b)-f^{(2r-1)}(a)\right)+R_{2m}$
$\tag{2.2r} R_{2m}=-\dfrac{1}{(2m)!}\int_a^b B_{2m}(x-\lfloor x\rfloor) f^{(2m)}(x)dx$
$\tag{2.2r'}\quad = (-1)^m 2\int_a^b\left(\sum_{s=1}^\infty \dfrac{\cos(2\pi sx)}{(2\pi s)^{2m}}\right)f^{(2m)}(x)dx$
Chứng minh:
Áp dụng công thức $(2.1), (2.1r), (2.1r')$ cho $m$ chẵn và lưu ý rằng: $B_3=B_5= B_7=...=0$
ta có điều phải chứng minh
3. Ứng dụng tính tổng các phần tử của dãy số
3.1 Tổng của cấp số cộng
$\tag{3.1} \sum_{k=0}^{n-1}(a+kd)=\dfrac{n}{2}\left[2a+(n-1)d\right]$
Chứng minh:
Ta có: $f(x)=a+xd,\;\;f^{(1)}(x)=d,\;f^{(2)}(x)=f^{(3)}(x)=f^{(4)}(x)=...=0$
Áp dụng công thức $(2.2)$
$\sum_{k=0}^{n-1}(a+kd)=\int_0^n (a+xd)dx-\dfrac{1}{2}[(a+nd)-(a+0d)]+\dfrac{B_2}{2!}(d-d)+\sum_{r=2}^m\dfrac{b_{2r}}{(2r)!}(0-0)+R_{2m}$
$\qquad = \left[xa+\dfrac{x^2d}{2}\right]_0^n-\dfrac{nd}{2}+R_{2m}$
$\qquad = na+\dfrac{n^2d}{2}-\dfrac{nd}{2}+R_{2m}$
với
$R_{2m}=-\dfrac{1}{(2m)!}\int_0^n B_{2m}(x-\lfloor x\rfloor).0 dx=0$
Từ đó suy ra điều phải chứng minh.
3.2 Tổng của cấp số nhân
$\tag{3.2}\sum_{k=0}^{n-1} r^k=(r^n-1)\sum_{s=0}^m \dfrac{B_s}{s!}(\ln r)^{s-1}+R_m$
$\tag{3.2r}\qquad R_m=(-1)^{m+1}\dfrac{(\ln r)^m}{m!}\int_0^n B_m(x-\lfloor x\rfloor)r^xdx$
$\tag{3.2'}\sum_{k=0}^{n-1} r^k=(r^n-1)\sum_{s=0}^m \dfrac{B_s}{s!}(\ln r)^{s-1}=\dfrac{r^n-1}{r-1}$
Chứng minh:
Ta có: $f(x)=r^x$
$\int_0^n f(x)dx=\left[\dfrac{r^x}{\ln r}\right]_0^n=\dfrac{r^n-1}{\ln r}$
$f^{(s-1)}(x)=r^x (\ln r)^{s-1}\quad (s=1,...,m+1)$
Áp dụng công thức $(2.1)$
$\sum_{k=0}^{n-1}r^k = \dfrac{r^n-1}{\ln r}+\sum_{s=1}^m \dfrac{B_s}{s!}\left(r^n (\ln r)^{s-1} -r^0(\ln r)^{s-1} \right)+R_m$
$\qquad = (r^n-1)\sum_{s=0}^m\dfrac{B_s}{s!}(\ln r)^{s-1}+R_m$
với $R_m=\dfrac{(-1)^{m+1}}{m!}\int_0^n B_m(x-\lfloor x\rfloor) r^x(\ln r)^m dx$
Từ định nghĩa số Bernoulli
$\sum_{s=0}^\infty \dfrac{B_s}{s!}x^s=\dfrac{x}{e^x-1}$
Cho $x= \ln r$ ta có:
$\sum_{s=0}^\infty\dfrac{B_s}{s!}(\ln r)^{s}=\dfrac{\ln r}{e^{\ln r}-1}=\dfrac{\ln r}{r-1}$
$\Rightarrow \sum_{s=0}^\infty\dfrac{B_s}{s!}(\ln r)^{s-1}=\dfrac{1}{r-1}$
Hơn nữa, cho $m\to \infty$
$\displaystyle \lim_{m\to\infty}\dfrac{(\ln r)^m}{m!}=0\Rightarrow R_\infty=0$
Vậy
$\sum_{k=0}^{n-1}r^k=(r^n-1)\sum_{s=0}^\infty\dfrac{B_s}{s!}(\ln r)^{s-1}=\dfrac{r^n-1}{r-1}$
$Q.E.D$
To be continue ...