Chủ đề này có 1 trả lời

[Zaraki]

Tìm số nguyên dương $n \ge 2011$ nhỏ nhất sao cho phương trình $$x^4+y^4+z^4+w^4-4xyzw=n$$ có nghiệm nguyên dương.

[chanhquocnghiem]

Tìm số nguyên dương $n \ge 2011$ nhỏ nhất sao cho phương trình $$x^4+y^4+z^4+w^4-4xyzw=n$$ có nghiệm nguyên dương.

Gọi $n_0$ là số nguyên dương cần tìm.Giả sử $2011\leqslant n_0\leqslant 2020$.

$n_0=x^4+y^4+z^4+w^4-4xyzw=(x^2-y^2)^2+(z^2-w^2)^2+2(xy-zw)^2$ ($x,y,z,w\in \mathbb{N}^*$)

Vì $n_0\leqslant 2020\Rightarrow \left | x^2-y^2 \right |\leqslant 44$ ; $\left | z^2-w^2 \right |\leqslant 44$ và $\left | xy-zw \right |\leqslant 31$.

Ta nhận xét rằng $\left | x^2-y^2 \right |$ và $\left | z^2-w^2 \right |$ chỉ nhận các giá trị :

$43;41;39;37;...;7;5;3$ nếu là số lẻ

hoặc $44;40;36;32;...;16;12;8;0$ (không có $4$) nếu là số chẵn.

Ngoài ra nếu $\left | x^2-y^2 \right |=\left | z^2-w^2 \right |=0\Rightarrow n_0=2(xy-zw)^2=2(x^2-z^2)^2$ (vô lý vì $2011\leqslant n_0\leqslant 2020)$

Vậy $\left | x^2-y^2 \right |$ và $\left | z^2-w^2 \right |$ không đồng thời bằng $0$.

Xét 3 TH :

$I/$ $\left | x^2-y^2 \right |=\left | z^2-w^2 \right |=m\neq 0$

Khi đó $m\leqslant 31\Rightarrow n_0\leqslant 31^2+31^2=1922< 2011$ (loại)

$II/$ $\left | x^2-y^2 \right |\neq \left | z^2-w^2 \right |$ và cùng khác $0$ :

Trong 2 số dương $\left | x^2-y^2 \right |$ và $\left | z^2-w^2 \right |$, gọi số lớn hơn là $A$, số nhỏ hơn là $B$.

$a)$ $A$ lẻ :

Khi đó $A\geqslant 33$ và $B\leqslant 29$

Vì $33=17^2-16^2$ và $29=15^2-14^2$ nên $\left | xy-zw \right |\geqslant \left | 17.16-15.14 \right |=62> 31$ nên TH này loại.

$b)$ $A$ chẵn ; $B$ chẵn :

+ $A=32;B=28\Rightarrow \left | xy-zw \right |=\left | 9.7-8.6 \right |=15\Rightarrow n_0=32^2+28^2+2.15^2=2258> 2020$ (loại)

+ $A=32;B=24\Rightarrow \left | xy-zw \right |=\left | 9.7-7.5 \right |=28\Rightarrow n_0=32^2+24^2+2.28^2=3168> 2020$ (loại)

+ $A=32;B\leqslant 20\Rightarrow \left | xy-zw \right |\geqslant \left | 9.7-6.4 \right |=39> 31$ (loại)

+ $A\geqslant 36\Rightarrow B\leqslant 24\Rightarrow \left | xy-zw \right |\geqslant \left | 10.8-7.5 \right |=45> 31$ (loại)

$c)$ $A$ chẵn ; $B$ lẻ :

+ $A=44\Rightarrow B\leqslant 9\Rightarrow \left | xy-zw \right |\geqslant \left | 12.10-5.4 \right |=100> 31$ (loại)

+ $A=40;B=19\Rightarrow \left | xy-zw \right |=\left | 11.9-10.9 \right |=9\Rightarrow n_0=40^2+19^2+2.9^2=2123$ (loại)

+ $A=40;B=17\Rightarrow \left | xy-zw \right |=\left | 11.9-9.8 \right |=27\Rightarrow n_0=40^2+17^2+2.27^2=3347$ (loại)

+ $A=40;B\leqslant 15\Rightarrow \left | xy-zw \right |\geqslant \left | 11.9-8.7 \right |=43> 31$ (loại)

+ $A=36\Rightarrow \left | xy-zw \right |\leqslant \sqrt{\frac{2020-36^2}{2}}$ hay $\left | xy-zw \right |\leqslant 19$

   Nếu $B\geqslant 21\Rightarrow \left | xy-zw \right |\geqslant \left | 10.8-11.10 \right |=30> 19$ (loại)

   Nếu $B=19\Rightarrow \left | xy-zw \right |=\left | 10.8-10.9 \right |=10\Rightarrow n_0=36^2+19^2+2.10^2=1857$ (loại)

   Nếu $B=17\Rightarrow \left | xy-zw \right |=\left | 10.8-9.8 \right |=8\Rightarrow n_0=36^2+17^2+2.8^2=1713$ (loại)

   Nếu $B\leqslant 15\Rightarrow \left | xy-zw \right |\geqslant \left | 10.8-8.7 \right |=24> 19$ (loại)

+ $A=32\Rightarrow \left | xy-zw \right |\leqslant \sqrt{\frac{2020-32^2}{2}}$ hay $\left | xy-zw \right |\leqslant 22$

   Nếu $B\geqslant 19\Rightarrow \left | xy-zw \right |\geqslant \left | 9.7-10.9 \right |=27> 22$ (loại)

   Nếu $B=17\Rightarrow \left | xy-zw \right |=\left | 9.7-9.8 \right |=9\Rightarrow n_0=32^2+17^2+2.9^2=1475$ (loại)

   Nếu $B=15\Rightarrow \left | xy-zw \right |=\left | 9.7-8.7 \right |=7\Rightarrow n_0=32^2+15^2+2.7^2=1347$ (loại)

   Nếu $B=13\Rightarrow \left | xy-zw \right |=\left | 9.7-7.6 \right |=21\Rightarrow n_0=32^2+13^2+2.21^2=2075$ (loại)

   Nếu $B\leqslant 11\Rightarrow \left | xy-zw \right |\geqslant \left | 9.7-6.5 \right |=33> 22$ (loại)

$III/$ $A\neq 0;B=0$ ($z=w=m$) :

$a)$ $A$ chẵn :

+ $A=44\Rightarrow \left | xy-zw \right |\leqslant \sqrt{\frac{2020-44^2}{2}}$ hay $\left | xy-zw \right |\leqslant 6$

   Nếu $m=11\Rightarrow \left | xy-zw \right |=\left | 12.10-11^2 \right |=1\Rightarrow n_0=44^2+0+2.1^2=1938$ (loại)

   Nếu $m\neq 11\Rightarrow \left | xy-zw \right |\geqslant \left | 12.10-10^2 \right |=20> 6$ (loại)

 

+ $A=40\Rightarrow \left | xy-zw \right |\leqslant \sqrt{\frac{2020-40^2}{2}}$ hay $\left | xy-zw \right |\leqslant 14$

   Nếu $m=10\Rightarrow \left | xy-zw \right |=\left | 11.9-10^2 \right |=1\Rightarrow n_0=40^2+0+2.1^2=1602$ (loại)

   Nếu $m\neq 10\Rightarrow \left | xy-zw \right |\geqslant \left | 11.9-9^2 \right |=18> 14$ (loại)

 

+ $A=36\Rightarrow \left | xy-zw \right |\leqslant \sqrt{\frac{2020-36^2}{2}}$ hay $\left | xy-zw \right |\leqslant 19$

   Nếu $m=9\Rightarrow \left | xy-zw \right |=\left | 10.8-9^2 \right |=1\Rightarrow n_0=36^2+0+2.1^2=1298$ (loại)

   Nếu $m=8\Rightarrow \left | xy-zw \right |=\left | 10.8-8^2 \right |=16\Rightarrow n_0=36^2+0+2.16^2=1808$ (loại)

   Nếu $m\notin \left \{ 8;9 \right \}$ $\Rightarrow \left | xy-zw \right |\geqslant \left | 10.8-10^2 \right |=20> 19$ (loại)

 

+ $A=32\Rightarrow \left | xy-zw \right |\leqslant \sqrt{\frac{2020-32^2}{2}}$ hay $\left | xy-zw \right |\leqslant 22$

   Nếu $m=8\Rightarrow \left | xy-zw \right |=\left | 9.7-8^2 \right |=1\Rightarrow n_0=32^2+0+2.1^2=1026$ (loại)

   Nếu $m=7\Rightarrow \left | xy-zw \right |=\left | 9.7-7^2 \right |=14\Rightarrow n_0=32^2+0+2.14^2=1416$ (loại)

   Nếu $m=9\Rightarrow \left | xy-zw \right |=\left | 9.7-9^2 \right |=18\Rightarrow n_0=32^2+0+2.18^2=1672$ (loại)

   Nếu $m\notin \left \{ 7;8;9 \right \}$ $\Rightarrow \left | xy-zw \right |\geqslant \left | 9.7-6^2 \right |=27> 22$ (loại)

$b)$ $A$ lẻ :

Đặt $A=2p+1\Rightarrow \left | xy-zw \right |\geqslant \left | p(p+1)-p^2 \right |=p\Rightarrow n_0\geqslant (2p+1)^2+0+2p^2=6p^2+4p+1$

(Dấu bằng xảy ra khi $z=w=p$)

Vì $2011\leqslant n_0\leqslant 2020$ nên chỉ có 1 giá trị thích hợp là $p=18$

$\Rightarrow n_0=2017$ (khi trong 4 số $x,y,z,w$ có 1 số bằng $19$, 3 số còn lại bằng $18$)

 

Vậy số nguyên dương cần tìm là $2017$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 14-08-2015 - 15:14