Tìm số nguyên dương $n \ge 2011$ nhỏ nhất sao cho phương trình $$x^4+y^4+z^4+w^4-4xyzw=n$$ có nghiệm nguyên dương.
Tìm số nguyên dương $n \ge 2011$ nhỏ nhất sao cho phương trình $x^4+y^4+z^4+w^4-4xyzw=n$ có nghiệm nguyên dương.
#1
Đã gửi 07-10-2013 - 22:34
- E. Galois, LNH, bangbang1412 và 12 người khác yêu thích
Discovery is a child’s privilege. I mean the small child, the child who is not afraid to be wrong, to look silly, to not be serious, and to act differently from everyone else. He is also not afraid that the things he is interested in are in bad taste or turn out to be different from his expectations, from what they should be, or rather he is not afraid of what they actually are. He ignores the silent and flawless consensus that is part of the air we breathe – the consensus of all the people who are, or are reputed to be, reasonable.
Grothendieck, Récoltes et Semailles (“Crops and Seeds”).
#2
Đã gửi 13-08-2015 - 09:03
Tìm số nguyên dương $n \ge 2011$ nhỏ nhất sao cho phương trình $$x^4+y^4+z^4+w^4-4xyzw=n$$ có nghiệm nguyên dương.
Gọi $n_0$ là số nguyên dương cần tìm.Giả sử $2011\leqslant n_0\leqslant 2020$.
$n_0=x^4+y^4+z^4+w^4-4xyzw=(x^2-y^2)^2+(z^2-w^2)^2+2(xy-zw)^2$ ($x,y,z,w\in \mathbb{N}^*$)
Vì $n_0\leqslant 2020\Rightarrow \left | x^2-y^2 \right |\leqslant 44$ ; $\left | z^2-w^2 \right |\leqslant 44$ và $\left | xy-zw \right |\leqslant 31$.
Ta nhận xét rằng $\left | x^2-y^2 \right |$ và $\left | z^2-w^2 \right |$ chỉ nhận các giá trị :
$43;41;39;37;...;7;5;3$ nếu là số lẻ
hoặc $44;40;36;32;...;16;12;8;0$ (không có $4$) nếu là số chẵn.
Ngoài ra nếu $\left | x^2-y^2 \right |=\left | z^2-w^2 \right |=0\Rightarrow n_0=2(xy-zw)^2=2(x^2-z^2)^2$ (vô lý vì $2011\leqslant n_0\leqslant 2020)$
Vậy $\left | x^2-y^2 \right |$ và $\left | z^2-w^2 \right |$ không đồng thời bằng $0$.
Xét 3 TH :
$I/$ $\left | x^2-y^2 \right |=\left | z^2-w^2 \right |=m\neq 0$
Khi đó $m\leqslant 31\Rightarrow n_0\leqslant 31^2+31^2=1922< 2011$ (loại)
$II/$ $\left | x^2-y^2 \right |\neq \left | z^2-w^2 \right |$ và cùng khác $0$ :
Trong 2 số dương $\left | x^2-y^2 \right |$ và $\left | z^2-w^2 \right |$, gọi số lớn hơn là $A$, số nhỏ hơn là $B$.
$a)$ $A$ lẻ :
Khi đó $A\geqslant 33$ và $B\leqslant 29$
Vì $33=17^2-16^2$ và $29=15^2-14^2$ nên $\left | xy-zw \right |\geqslant \left | 17.16-15.14 \right |=62> 31$ nên TH này loại.
$b)$ $A$ chẵn ; $B$ chẵn :
+ $A=32;B=28\Rightarrow \left | xy-zw \right |=\left | 9.7-8.6 \right |=15\Rightarrow n_0=32^2+28^2+2.15^2=2258> 2020$ (loại)
+ $A=32;B=24\Rightarrow \left | xy-zw \right |=\left | 9.7-7.5 \right |=28\Rightarrow n_0=32^2+24^2+2.28^2=3168> 2020$ (loại)
+ $A=32;B\leqslant 20\Rightarrow \left | xy-zw \right |\geqslant \left | 9.7-6.4 \right |=39> 31$ (loại)
+ $A\geqslant 36\Rightarrow B\leqslant 24\Rightarrow \left | xy-zw \right |\geqslant \left | 10.8-7.5 \right |=45> 31$ (loại)
$c)$ $A$ chẵn ; $B$ lẻ :
+ $A=44\Rightarrow B\leqslant 9\Rightarrow \left | xy-zw \right |\geqslant \left | 12.10-5.4 \right |=100> 31$ (loại)
+ $A=40;B=19\Rightarrow \left | xy-zw \right |=\left | 11.9-10.9 \right |=9\Rightarrow n_0=40^2+19^2+2.9^2=2123$ (loại)
+ $A=40;B=17\Rightarrow \left | xy-zw \right |=\left | 11.9-9.8 \right |=27\Rightarrow n_0=40^2+17^2+2.27^2=3347$ (loại)
+ $A=40;B\leqslant 15\Rightarrow \left | xy-zw \right |\geqslant \left | 11.9-8.7 \right |=43> 31$ (loại)
+ $A=36\Rightarrow \left | xy-zw \right |\leqslant \sqrt{\frac{2020-36^2}{2}}$ hay $\left | xy-zw \right |\leqslant 19$
Nếu $B\geqslant 21\Rightarrow \left | xy-zw \right |\geqslant \left | 10.8-11.10 \right |=30> 19$ (loại)
Nếu $B=19\Rightarrow \left | xy-zw \right |=\left | 10.8-10.9 \right |=10\Rightarrow n_0=36^2+19^2+2.10^2=1857$ (loại)
Nếu $B=17\Rightarrow \left | xy-zw \right |=\left | 10.8-9.8 \right |=8\Rightarrow n_0=36^2+17^2+2.8^2=1713$ (loại)
Nếu $B\leqslant 15\Rightarrow \left | xy-zw \right |\geqslant \left | 10.8-8.7 \right |=24> 19$ (loại)
+ $A=32\Rightarrow \left | xy-zw \right |\leqslant \sqrt{\frac{2020-32^2}{2}}$ hay $\left | xy-zw \right |\leqslant 22$
Nếu $B\geqslant 19\Rightarrow \left | xy-zw \right |\geqslant \left | 9.7-10.9 \right |=27> 22$ (loại)
Nếu $B=17\Rightarrow \left | xy-zw \right |=\left | 9.7-9.8 \right |=9\Rightarrow n_0=32^2+17^2+2.9^2=1475$ (loại)
Nếu $B=15\Rightarrow \left | xy-zw \right |=\left | 9.7-8.7 \right |=7\Rightarrow n_0=32^2+15^2+2.7^2=1347$ (loại)
Nếu $B=13\Rightarrow \left | xy-zw \right |=\left | 9.7-7.6 \right |=21\Rightarrow n_0=32^2+13^2+2.21^2=2075$ (loại)
Nếu $B\leqslant 11\Rightarrow \left | xy-zw \right |\geqslant \left | 9.7-6.5 \right |=33> 22$ (loại)
$III/$ $A\neq 0;B=0$ ($z=w=m$) :
$a)$ $A$ chẵn :
+ $A=44\Rightarrow \left | xy-zw \right |\leqslant \sqrt{\frac{2020-44^2}{2}}$ hay $\left | xy-zw \right |\leqslant 6$
Nếu $m=11\Rightarrow \left | xy-zw \right |=\left | 12.10-11^2 \right |=1\Rightarrow n_0=44^2+0+2.1^2=1938$ (loại)
Nếu $m\neq 11\Rightarrow \left | xy-zw \right |\geqslant \left | 12.10-10^2 \right |=20> 6$ (loại)
+ $A=40\Rightarrow \left | xy-zw \right |\leqslant \sqrt{\frac{2020-40^2}{2}}$ hay $\left | xy-zw \right |\leqslant 14$
Nếu $m=10\Rightarrow \left | xy-zw \right |=\left | 11.9-10^2 \right |=1\Rightarrow n_0=40^2+0+2.1^2=1602$ (loại)
Nếu $m\neq 10\Rightarrow \left | xy-zw \right |\geqslant \left | 11.9-9^2 \right |=18> 14$ (loại)
+ $A=36\Rightarrow \left | xy-zw \right |\leqslant \sqrt{\frac{2020-36^2}{2}}$ hay $\left | xy-zw \right |\leqslant 19$
Nếu $m=9\Rightarrow \left | xy-zw \right |=\left | 10.8-9^2 \right |=1\Rightarrow n_0=36^2+0+2.1^2=1298$ (loại)
Nếu $m=8\Rightarrow \left | xy-zw \right |=\left | 10.8-8^2 \right |=16\Rightarrow n_0=36^2+0+2.16^2=1808$ (loại)
Nếu $m\notin \left \{ 8;9 \right \}$ $\Rightarrow \left | xy-zw \right |\geqslant \left | 10.8-10^2 \right |=20> 19$ (loại)
+ $A=32\Rightarrow \left | xy-zw \right |\leqslant \sqrt{\frac{2020-32^2}{2}}$ hay $\left | xy-zw \right |\leqslant 22$
Nếu $m=8\Rightarrow \left | xy-zw \right |=\left | 9.7-8^2 \right |=1\Rightarrow n_0=32^2+0+2.1^2=1026$ (loại)
Nếu $m=7\Rightarrow \left | xy-zw \right |=\left | 9.7-7^2 \right |=14\Rightarrow n_0=32^2+0+2.14^2=1416$ (loại)
Nếu $m=9\Rightarrow \left | xy-zw \right |=\left | 9.7-9^2 \right |=18\Rightarrow n_0=32^2+0+2.18^2=1672$ (loại)
Nếu $m\notin \left \{ 7;8;9 \right \}$ $\Rightarrow \left | xy-zw \right |\geqslant \left | 9.7-6^2 \right |=27> 22$ (loại)
$b)$ $A$ lẻ :
Đặt $A=2p+1\Rightarrow \left | xy-zw \right |\geqslant \left | p(p+1)-p^2 \right |=p\Rightarrow n_0\geqslant (2p+1)^2+0+2p^2=6p^2+4p+1$
(Dấu bằng xảy ra khi $z=w=p$)
Vì $2011\leqslant n_0\leqslant 2020$ nên chỉ có 1 giá trị thích hợp là $p=18$
$\Rightarrow n_0=2017$ (khi trong 4 số $x,y,z,w$ có 1 số bằng $19$, 3 số còn lại bằng $18$)
Vậy số nguyên dương cần tìm là $2017$.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 14-08-2015 - 15:14
- Ispectorgadget, thinhrost1, datcoi961999 và 4 người khác yêu thích
...
Ðêm nay tiễn đưa
Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh