Chủ đề này có 8 trả lời

[Dam Uoc Mo]

cho tam giác nhọn ABC và M chuyển động trên đường thằng BC.trung trực của MB,MC cắt AB,AC ở P,Q.cmr đường thẳng qua M vuông góc PQ đi qua 1 điểm cố định

 

[minhlong02121999]

Lấy điểm N đối xứng với M qua PQ

Gọi I là giao của tia NM với (O)

     H là giao AI và BC

     K là giao đường trung trực MC với MC

     L là giao MN và PQ

Ta có $\angle PNQ = \angle PMQ$ ($\triangle PNQ=\triangle PMQ$)

Mà $\angle PMQ =\angle PAQ(=180-\angle ABC-\angle ACB)$

$\Rightarrow \angle PNQ =\angle PAQ$

$\Rightarrow$ NAQP là tứ giác nội tiếp

$\Rightarrow \angle NAB = \angle NQP$ (1)

Mà $\angle NQP =\angle PQM$ ($\triangle PNQ=\triangle PMQ$) (2)

Mặt khác tứ giác KMLQ là tứ giác nội tiếp (tổng 2 góc đối = 180)

$\Rightarrow \angle PQM =\angle LKM$ (3)

Lại có, KL là đường trung bình tam giác MNC (K là trung điểm MC, L là trung điểm MN)

$\Rightarrow KL//NC \Rightarrow \angle LKM =\angle NCB$ (đồng vị) (4)

Từ (1),(2),(3) và (4) $\Rightarrow \angle NAB=\angle NCB$

Hay N thuộc đường tròn ngoại tiếp $\triangle ABC$

Ta có $\angle PMQ=\angle BAC;\angle PQM=\angle NCB$ (cmt)

$\Rightarrow \angle QPM=180-(\angle PQM+\angle PMQ)=180-(\angle BAC+\angle NCB)=180-\angle NAC=\angle ANC+\angle ACN=\angle ABC+\angle ACN=\angle PMB+\angle AIN$

Mà $\angle QPM+\angle NMP=90$$\Rightarrow \angle PMB+\angle AIN+\angle NMP=\angle CMI+\angle AIN=90$

$\Rightarrow AI\perp BC$

Mặt khác do A,B,C cố định nên đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và BC cố định

$\Rightarrow I$ cố định khi M di chuyển trên BC

[minhlong02121999]

Lấy điểm N đối xứng với M qua PQ

Gọi I là giao của tia NM với (O)

     H là giao AI và BC

     K là giao đường trung trực MC với MC

     L là giao MN và PQ

Ta có $\angle PNQ = \angle PMQ$ ($\triangle PNQ=\triangle PMQ$)

Mà $\angle PMQ =\angle PAQ(=180-\angle ABC-\angle ACB)$

$\Rightarrow \angle PNQ =\angle PAQ$

$\Rightarrow$ NAQP là tứ giác nội tiếp

$\Rightarrow \angle NAB = \angle NQP$ (1)

Mà $\angle NQP =\angle PQM$ ($\triangle PNQ=\triangle PMQ$) (2)

Mặt khác tứ giác KMLQ là tứ giác nội tiếp (tổng 2 góc đối = 180)

$\Rightarrow \angle PQM =\angle LKM$ (3)

Lại có, KL là đường trung bình tam giác MNC (K là trung điểm MC, L là trung điểm MN)

$\Rightarrow KL//NC \Rightarrow \angle LKM =\angle NCB$ (đồng vị) (4)

Từ (1),(2),(3) và (4) $\Rightarrow \angle NAB=\angle NCB$

Hay N thuộc đường tròn ngoại tiếp $\triangle ABC$

Ta có $\angle PMQ=\angle BAC;\angle PQM=\angle NCB$ (cmt)

$\Rightarrow \angle QPM=180-(\angle PQM+\angle PMQ)=180-(\angle BAC+\angle NCB)=180-\angle NAC=\angle ANC+\angle ACN=\angle ABC+\angle ACN=\angle PMB+\angle AIN$

Mà $\angle QPM+\angle NMP=90$$\Rightarrow \angle PMB+\angle AIN+\angle NMP=\angle CMI+\angle AIN=90$

$\Rightarrow AI\perp BC$

Mặt khác do A,B,C cố định nên đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và BC cố định

$\Rightarrow I$ cố định khi M di chuyển trên BC

File gửi kèm

•  untitled.bmp   942.36K   89 Số lần tải

[Dam Uoc Mo]

Lấy điểm N đối xứng với M qua PQ

Gọi I là giao của tia NM với (O)

     H là giao AI và BC

     K là giao đường trung trực MC với MC

     L là giao MN và PQ

Ta có $\angle PNQ = \angle PMQ$ ($\triangle PNQ=\triangle PMQ$)

Mà $\angle PMQ =\angle PAQ(=180-\angle ABC-\angle ACB)$

$\Rightarrow \angle PNQ =\angle PAQ$

$\Rightarrow$ NAQP là tứ giác nội tiếp

$\Rightarrow \angle NAB = \angle NQP$ (1)

Mà $\angle NQP =\angle PQM$ ($\triangle PNQ=\triangle PMQ$) (2)

Mặt khác tứ giác KMLQ là tứ giác nội tiếp (tổng 2 góc đối = 180)

$\Rightarrow \angle PQM =\angle LKM$ (3)

Lại có, KL là đường trung bình tam giác MNC (K là trung điểm MC, L là trung điểm MN)

$\Rightarrow KL//NC \Rightarrow \angle LKM =\angle NCB$ (đồng vị) (4)

Từ (1),(2),(3) và (4) $\Rightarrow \angle NAB=\angle NCB$

Hay N thuộc đường tròn ngoại tiếp $\triangle ABC$

Ta có $\angle PMQ=\angle BAC;\angle PQM=\angle NCB$ (cmt)

$\Rightarrow \angle QPM=180-(\angle PQM+\angle PMQ)=180-(\angle BAC+\angle NCB)=180-\angle NAC=\angle ANC+\angle ACN=\angle ABC+\angle ACN=\angle PMB+\angle AIN$

Mà $\angle QPM+\angle NMP=90$$\Rightarrow \angle PMB+\angle AIN+\angle NMP=\angle CMI+\angle AIN=90$

$\Rightarrow AI\perp BC$

Mặt khác do A,B,C cố định nên đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và BC cố định

$\Rightarrow I$ cố định khi M di chuyển trên BC

Nhầm rồi.

[minhlong02121999]

Nhầm rồi.

tại sao lại nhầm ????????

[Dam Uoc Mo]

Thế góc MIN đâu?Chỗ này tôi xem lại vài lần rồi,thấy ko ổn. :/

[minhlong02121999]

Góc MIN là đường thẳng mà

[chanhquocnghiem]

Nhầm rồi.

Bạn nói nhầm chỗ nào ? Chắc ý bạn là chỗ tô đỏ chứ gì ? Không nhầm đâu !

Mình xin trình bày lại đoạn đó cho dễ hiểu hơn nhé :

$\widehat{QPM}=\widehat{PMB}+\widehat{AIN}$ (*)

(Lưu ý $I$ là giao điểm của $MN$ với đường tròn ngoại tiếp $\Delta ABC$ sao cho $I$ và $A$ không cùng phía đối với $BC$)

Mặt khác $\widehat{NMP}+\widehat{QPM}=90^o$ (**) (vì $MN$ _|_ $PQ$)

Nên từ (*) và (**) suy ra $\widehat{NMP}+\widehat{PMB}+\widehat{AIN}=90^o$

$\Rightarrow \widehat{NMB}+\widehat{AIN}=90^o\Rightarrow \widehat{CMI}+\widehat{AIN}=90^o$ (***)

Từ (***) suy ra $AI$ _|_ $BC$

(Còn $\widehat{MIN}=0^o$ vì như đã lưu ý ở trên, $I$ là giao điểm của $MN$ với đường tròn ngoại tiếp $\Delta ABC$)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 16-03-2014 - 21:36

[Dam Uoc Mo]

Bạn nói nhầm chỗ nào ? Chắc ý bạn là chỗ tô đỏ chứ gì ? Không nhầm đâu !

Mình xin trình bày lại đoạn đó cho dễ hiểu hơn nhé :

$\widehat{QPM}=\widehat{PMB}+\widehat{AIN}$ (*)

(Lưu ý $I$ là giao điểm của $MN$ với đường tròn ngoại tiếp $\Delta ABC$ sao cho $I$ và $A$ không cùng phía đối với $BC$)

Mặt khác $\widehat{NMP}+\widehat{QPM}=90^o$ (**) (vì $MN$ _|_ $PQ$)

Nên từ (*) và (**) suy ra $\widehat{NMP}+\widehat{PMB}+\widehat{AIN}=90^o$

$\Rightarrow \widehat{NMB}+\widehat{AIN}=90^o\Rightarrow \widehat{CMI}+\widehat{AIN}=90^o$ (***)

Từ (***) suy ra $AI$ _|_ $BC$

(Còn $\widehat{MIN}=0^o$ vì như đã lưu ý ở trên, $I$ là giao điểm của $MN$ với đường tròn ngoại tiếp $\Delta ABC$)

Ừ,cảm ơn bạn,hôm đó mình xem lại hình nên hiểu rồi.