Chủ đề này có 2 trả lời

[gabong24]

Nếu m, n là các số tự nhiên thỏa mãn $4m^{2}+m=5n^{2}+n$ thì m-n và 5m+5n+1 là các số chính phương

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi gabong24: 06-11-2013 - 20:34

[Rias Gremory]

Nếu m, n là các số tự nhiên thỏa mãn $4m^{2}+m=5n^{2}+n$ thì m-n và 5m+5n+1 là các số chính phương

Ta có : $4m^{2}+m=5n^{2}+n$

$\Leftrightarrow 5(m^{2}-n^{2})+(m-n)=m^{2}$

$\Leftrightarrow (m-n)(5m+5n+1)=m^{2}$ (*)

Gọi $d$ là ƯCLN của $m-n$ và $5m+5n+1$

$\Rightarrow (5m+5n+1)+5(m-n)$ chia hết cho $d$ 

$\Rightarrow 10m+1$ chia hết cho $d$

Mặt khác, từ (*) ta có $m^{2}$ chia hết cho $d^{2}$$\Rightarrow$ $m$ chia hết cho $d$

Từ $10m+1$ chia hết cho $d$ và $m$ chia hết cho $d$ ta có $1$ chia hết cho $d$

$\Rightarrow d=1$

Vậy $m-n$ và $5m+5n+1$ là các số tự nhiên nguyên tố cùng nhau, thõa mãn (*) nên chúng đều là các số chính phương

[dkhanhht98]

Ta còn có 4m+4n+1 cũng là số chính phương