$\sum \sqrt{\frac{ab+2c^2}{1+ab-c^2}}\geq ab+bc+ca+2$
#1
Đã gửi 06-11-2013 - 21:26
- Yagami Raito, MR MATH và MiuraHaruma thích
Sống là cho, đâu chỉ nhận riêng mình
#2
Đã gửi 04-09-2015 - 15:29
Cho các số thực dương thỏa mãn $a^2+b^2+c^2=1$ . Chứng minh rằng$\sum \sqrt{\frac{ab+2c^2}{1+ab-c^2}}\geq ab+bc+ca+2$
Áp dụng AM-GM :
$\sum \sqrt{\frac{ab+2c^{2}}{1+ab-c^{2}}}=\sum \sqrt{\frac{ab+2c^{2}}{a^2+ab+b^2}}=\sum \frac{ab+2c^2}{\sqrt{(ab+2c^2)(a^2+ab+b^2)}}$
$\geq 2\sum \frac{ab+2c^2}{(a+b)^2+2c^2}\geq \sum \frac{ab+2c^2}{a^2+b^2+c^2}=2\sum a^2+\sum ab=2+ab+bc+ca$
- O0NgocDuy0O, HoangVienDuy, Hoang Nhat Tuan và 7 người khác yêu thích
#3
Đã gửi 04-09-2015 - 16:57
Cho các số thực dương thỏa mãn $a^2+b^2+c^2=1$ . Chứng minh rằng$\sum \sqrt{\frac{ab+2c^2}{1+ab-c^2}}\geq ab+bc+ca+2$
$\sqrt{\frac{ab+2c^2}{1+ab-c^2}}=\sqrt{\frac{ab+2c^2}{a^2+b^2+ab}}=\frac{ab+2c^2}{\sqrt{(ab+2c^2)(a^2+b^2+ab)}}\geq \frac{2(ab+2c^2)}{2ab+2c^2+a^2+b^2}\geq \frac{2(ab+2c^2)}{2(a^2+b^2+c^2)}= \frac{ab+2c^2}{1-c^2+c}=ab+2c^2$
CMTT:$\sqrt{\frac{bc+2a^2}{1+bc-a^2}}\geq bc+2a^2$
$\sqrt{\frac{ca+2b^2}{1+ac-b^2}}\geq ca+2b^2$
$\Rightarrow \sum \sqrt{\frac{bc+2a^2}{1+bc-a^2}}\geq 2(a^2+b^2+c^2)+\sum ab=2+\sum ab$
- chieckhantiennu, rainbow99, kimchitwinkle và 5 người khác yêu thích
#4
Đã gửi 23-03-2016 - 12:43
$\sqrt{\frac{ab+2c^2}{1+ab-c^2}}=\sqrt{\frac{ab+2c^2}{a^2+b^2+ab}}=\frac{ab+2c^2}{\sqrt{(ab+2c^2)(a^2+b^2+ab)}}\geq \frac{2(ab+2c^2)}{2ab+2c^2+a^2+b^2}\geq \frac{2(ab+2c^2)}{2(a^2+b^2+c^2)}= \frac{ab+2c^2}{1-c^2+c}=ab+2c^2$
CMTT:$\sqrt{\frac{bc+2a^2}{1+bc-a^2}}\geq bc+2a^2$
$\sqrt{\frac{ca+2b^2}{1+ac-b^2}}\geq ca+2b^2$
$\Rightarrow \sum \sqrt{\frac{bc+2a^2}{1+bc-a^2}}\geq 2(a^2+b^2+c^2)+\sum ab=2+\sum ab$
Cậu copy y nguyên lời giải của bạn hoanglong2k mà ?
Có một người đi qua hoa cúc
Có hai người đi qua hoa cúc
Bỏ lại sau lưng cả tuổi thơ mình...
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh