Đến nội dung


Hình ảnh

$\sum \sqrt{\frac{ab+2c^2}{1+ab-c^2}}\geq ab+bc+ca+2$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1 hoangmanhquan

hoangmanhquan

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 641 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo

Đã gửi 06-11-2013 - 21:26

Cho các số thực dương thỏa mãn $a^2+b^2+c^2=1$ . Chứng minh rằng
$\sum \sqrt{\frac{ab+2c^2}{1+ab-c^2}}\geq ab+bc+ca+2$

 


:icon1: Sống là cho, đâu chỉ nhận riêng mình :icon1: 

 

 


#2 hoanglong2k

hoanglong2k

    Trung úy

  • Điều hành viên THCS
  • 965 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Quảng Bình

Đã gửi 04-09-2015 - 15:29

 

Cho các số thực dương thỏa mãn $a^2+b^2+c^2=1$ . Chứng minh rằng
$\sum \sqrt{\frac{ab+2c^2}{1+ab-c^2}}\geq ab+bc+ca+2$

 

 Áp dụng AM-GM :

 $\sum \sqrt{\frac{ab+2c^{2}}{1+ab-c^{2}}}=\sum \sqrt{\frac{ab+2c^{2}}{a^2+ab+b^2}}=\sum \frac{ab+2c^2}{\sqrt{(ab+2c^2)(a^2+ab+b^2)}}$

 $\geq 2\sum \frac{ab+2c^2}{(a+b)^2+2c^2}\geq \sum \frac{ab+2c^2}{a^2+b^2+c^2}=2\sum a^2+\sum ab=2+ab+bc+ca$



#3 Dinh Xuan Hung

Dinh Xuan Hung

    Thành viên nổi bật 2015

  • Điều hành viên THPT
  • 1380 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\textrm{THPT}$ $\textrm{ Chuyên Lương Văn Tụy}$ $\textrm{Ninh Bình}$
  • Sở thích:$\textrm{Làm Những Gì Mình Thích}$

Đã gửi 04-09-2015 - 16:57

 

Cho các số thực dương thỏa mãn $a^2+b^2+c^2=1$ . Chứng minh rằng
$\sum \sqrt{\frac{ab+2c^2}{1+ab-c^2}}\geq ab+bc+ca+2$

 

$\sqrt{\frac{ab+2c^2}{1+ab-c^2}}=\sqrt{\frac{ab+2c^2}{a^2+b^2+ab}}=\frac{ab+2c^2}{\sqrt{(ab+2c^2)(a^2+b^2+ab)}}\geq \frac{2(ab+2c^2)}{2ab+2c^2+a^2+b^2}\geq \frac{2(ab+2c^2)}{2(a^2+b^2+c^2)}= \frac{ab+2c^2}{1-c^2+c}=ab+2c^2$

CMTT:$\sqrt{\frac{bc+2a^2}{1+bc-a^2}}\geq bc+2a^2$

$\sqrt{\frac{ca+2b^2}{1+ac-b^2}}\geq ca+2b^2$

$\Rightarrow \sum \sqrt{\frac{bc+2a^2}{1+bc-a^2}}\geq 2(a^2+b^2+c^2)+\sum ab=2+\sum ab$



#4 HoangVienDuy

HoangVienDuy

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 309 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Chuyên Võ Nguyên Giáp , Quảng Bình
  • Sở thích:đi phượt

Đã gửi 23-03-2016 - 12:43

$\sqrt{\frac{ab+2c^2}{1+ab-c^2}}=\sqrt{\frac{ab+2c^2}{a^2+b^2+ab}}=\frac{ab+2c^2}{\sqrt{(ab+2c^2)(a^2+b^2+ab)}}\geq \frac{2(ab+2c^2)}{2ab+2c^2+a^2+b^2}\geq \frac{2(ab+2c^2)}{2(a^2+b^2+c^2)}= \frac{ab+2c^2}{1-c^2+c}=ab+2c^2$

CMTT:$\sqrt{\frac{bc+2a^2}{1+bc-a^2}}\geq bc+2a^2$

$\sqrt{\frac{ca+2b^2}{1+ac-b^2}}\geq ca+2b^2$

$\Rightarrow \sum \sqrt{\frac{bc+2a^2}{1+bc-a^2}}\geq 2(a^2+b^2+c^2)+\sum ab=2+\sum ab$

 Cậu copy y nguyên lời giải của bạn hoanglong2k mà ?


Có một người đi qua hoa cúc

Có hai người đi qua hoa cúc

Bỏ lại sau lưng cả tuổi thơ mình...

FB:https://www.facebook.com/hoang.vienduy





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh