Đến nội dung

Hình ảnh

Chứng minh 3 đường thẳng đồng quy


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
bachocdien

bachocdien

    Hạ sĩ

  • Biên tập viên
  • 62 Bài viết

Cho hình vuông $ABCD$. Cho $M$ là một điểm bất kỳ trên $BD$. Từ $M$ kẻ các đường thẳng $ME \perp AB$ và $MF \perp AD$. Chứng minh: $DE, BF, CM$ đồng quy



#2
tritanngo99

tritanngo99

    Đại úy

  • Điều hành viên THPT
  • 1644 Bài viết

Cho hình vuông $ABCD$. Cho $M$ là một điểm bất kỳ trên $BD$. Từ $M$ kẻ các đường thẳng $ME \perp AB$ và $MF \perp AD$. Chứng minh: $DE, BF, CM$ đồng quy

Gọi $K$ là giao của $DE$ và $BF$ ta đi chứng minh $\overline {K,M,C}$.
Qua $F$ kẻ $FQ//MC(Q\in DC)\implies FMCQ$ là hình bình hành $\implies FM=QC$. Ta đi chứng minh $NQ//KM$.
Gọi $T$ là giao $NQ$ với $BD$.
Đặt $AB=a;AE=MF=FD=QC=x \implies EB=EM=DQ=a-x$.
Áp dụng định lí $Menelaus$ cho $\triangle ABF$ ta có:
$\frac{EA}{EB}*\frac{KB}{KF}*\frac{DN}{DA}=1\implies \frac{KB}{KF}=\frac{DA}{DF}*\frac{EB}{EA}=\frac{a(a-x)}{x^2}(1)$.
Mặt khác ta lại có: $\frac{MB}{MT}=\frac{MB}{MD}*\frac{MD}{MT}=\frac{\sqrt{2}(a-x)}{\sqrt{2}x}*\frac{MT+TD}{MT}$
$=\frac{a-x}{x}*(1+\frac{TD}{MT})=\frac{a-x}{x}(1+\frac{a-x}{x})=\frac{a(a-x)}{x^2}(2)$.
Từ $(1)$ và $(2)$ $\implies \frac{KB}{KF}=\frac{MB}{MT}\implies KM//FT\implies Q.E.D$

Hình gửi kèm

  • geo2.PNG

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tritanngo99: 26-06-2016 - 07:45





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh