Chủ đề này có 2 trả lời

[Zaraki]

Tìm ước chung lớn nhất của $ a^2b+b^2c+c^2a, ab^2+bc^2+ca^2,  a+b+c$ với $a,b,c \in \mathbb{Z},a,b,c>1$ và $a,b,c$ nguyên tố cùng nhau.

[chanhquocnghiem]

Tìm ước chung lớn nhất của $ a^2b+b^2c+c^2a, ab^2+bc^2+ca^2,  a+b+c$ với $a,b,c \in \mathbb{Z},a,b,c>1$ và $a,b,c$ nguyên tố cùng nhau.

Đặt $A=a^2b+b^2c+c^2a$ ; $B=ab^2+bc^2+ca^2$ ; $C=a+b+c$.

Giả sử $d$ là ƯCLN của $A,B$ và $C$, tức là $(A,B,C)=d$

$\Rightarrow d$ cũng là ước của $(a+b+c)(ab+bc+ca)-A-B=3\ abc$

$\Rightarrow d$ có dạng $mnpq$ (với $m\ |\ 3$ ; $n\ |\ a$ ; $p\ |\ b$ ; $q\ |\ c$).

Mặt khác ta nhận xét rằng nếu trong 3 số $n,p,q$ có ít nhất 1 số khác $1$, giả sử $n\neq 1$ thì khi đó vì $n\ |\ a$ và $a,b,c$ nguyên tố cùng nhau từng đôi một nên $b^2c$ và $bc^2$ không chia hết cho $n$ $\Rightarrow A$ và $B$ không chia hết cho $d$.Điều này vô lý vì nó mâu thuẫn với điều giả sử $(A,B,C)=d$.

Vậy $n=p=q=1\Rightarrow d$ chỉ có thể bằng $3$ hoặc bằng $1$.

Vì $a,b,c$ nguyên tố cùng nhau từng đôi một nên trong $3$ số đó có nhiều nhất $1$ số là bội của $3$.Xét $2$ TH :

$I/$ Trong $3$ số $a,b,c$, có đúng $1$ số là bội của $3$ :

   Khi đó, theo lập luận ở trên, $d$ không thể bằng $3$ $\Rightarrow d=1$.

$II/$ Trong $3$ số $a,b,c$, không có số nào là bội của $3$ :

   $1)$ Nếu $a,b,c$ có cùng số dư (khác $0$) khi chia cho $3$ :

   Khi đó dễ thấy rằng $A\equiv B\equiv C\equiv 0\ (mod\3)\Rightarrow d=3$.

   $2)$ Các trường hợp còn lại :

   Khi đó dễ thấy rằng $C=a+b+c$ không chia hết cho $3\Rightarrow d=1$.

 

Kết luận :

+ Nếu $a,b,c$ có cùng số dư là $1$, hoặc cùng số dư là $2$ khi chia cho $3$ thì $d=3$.

+ Các trường hợp khác : $d=1$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 03-08-2015 - 14:08

[Zaraki]

Đặt $A=a^2b+b^2c+c^2a$ ; $B=ab^2+bc^2+ca^2$ ; $C=a+b+c$.

Giả sử $d$ là ƯCLN của $A,B$ và $C$, tức là $(A,B,C)=d$

$\Rightarrow d$ cũng là ước của $(a+b+c)(ab+bc+ca)-A-B=3\ abc$

$\Rightarrow d$ hoặc là ước khác 1 của $a$, hoặc là ước khác 1 của $b$, hoặc là ước khác 1 của $c$, hoặc bằng $3$, hoặc bằng $1$.

Mình nghĩ từ $3|abc$ suy ra hoặc $d|a$ hoặc $d|b$ hoặc $d|c$ hoặc $d=3$ hoặc $d=1$ là có vẻ chưa đúng lắm. Vì $d$ có thể $d|3a$ nhưng $d \nmid a$ (tạm cho rằng $3 \nmid a$). Khi đó không chỉ $d=3$ mà còn có $d=3l$ với $l|a, \; (1<l<a)$. Trường hợp $d=3l$ hoàn toàn không nằm trong 5 trường hợp nào mà bạn đưa trên.

 

Chỗ này nên đưa về xét trường hợp, nếu $\gcd (d,a)=r>1$ thì $r \nmid B$, mâu thuẫn vì $d|B$. Do đó $\gcd (d,a)=1$. Tương tự $\gcd(d,b)= \gcd (d,c)=1$. Do đó từ $d|3abc$ suy ra $d|3$ hay $d=1,3$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Zaraki: 03-08-2015 - 12:58