Đến nội dung

Hình ảnh

Topic nhận đề BĐT, cực trị


  • Chủ đề bị khóa Chủ đề bị khóa
Chủ đề này có 4 trả lời

#1
E. Galois

E. Galois

    Chú lùn thứ 8

  • Quản lý Toán Phổ thông
  • 3861 Bài viết

Topic này dùng để BTC nhận đề thi từ các toán thủ thi đấu về Bất đẳng thức, cực trị

 

 

I- Bạn cần biết:

1) Điều lệ giải đấu

2) Lịch thi đấu

3) Đăng kí thi đấu

 

II - Yêu cầu về đề bài
1. Hình thức:

- Đề bài phải có đáp án kèm theo.

- Đề bài và đáp án được gõ $\LaTeX$ rõ ràng

2. Nôi dung

* Đối với MHS

- Mỗi bộ đề bao gồm 1 câu của THPT. Kiến thức dùng để giải bài không vượt quá kiến thức thi tuyển sinh ĐH.

- Đề bài không được ở dạng thách đố, cách giải ngặt ngèo thông qua những bổ đề quá khó, không copy nguyên văn từ đề thi ĐH của Bộ GD&ĐT, đề thi Olympic hoặc HSG cấp tỉnh trở lên.

- Toán thủ không nên copy đề bài từ một topic nào đó của VMF, không được post lại đề đã nộp ra topic mới dù cho đề có được chọn hay không.

 

III - Mẫu đăng kí và nộp đề

1. Họ và tên thật:

2. Đang học lớp ?, trường ?, huyện ?, tỉnh ?

3. Đề 

4. Đáp án

 

IV - Chú ý

1) Bạn sẽ thấy ở trên khung trả lời của bạn có dòng sau Bài viết này phải qua kiểm duyệt của quản trị viên mới được đăng lên diễn đàn.

Điều này có nghĩa là các toán thủ khi nộp đề, cứ yên tâm rằng, sau khi đánh máy và ấn nút GỬI BÀI là đề đã được lưu, BTC đã nhận được đề của bạn, có điều bạn không nhìn thấy được mà thôi. Bạn nên mừng vì điều này, như thế các toán thủ khác không thể biết trước đề của bạn được.

 

2) Bạn cũng nên sử dụng chức năng xem trước của diễn đàn để sửa các lỗi $\LaTeX$ trước khi gửi bài, vì gửi rồi sẽ không xem và sửa lại được nữa. 

 

3) Nếu đề bài của bạn không được chấp nhận, BTC sẽ làm hiện nó và nói rõ lý do vì sao, khi đó, bạn phải nộp đề khác. 

Nếu đề bài của bạn được chấp nhận, bạn sẽ thấy tên mình trong danh sách thi đấu tại đây sau mỗi thứ 7 hàng tuần.

 

4) Mỗi tuần, BTC chỉ cho phép toán thủ đăng kí 1 nộp đề cho 1 chủ đề nên bạn đừng ngạc nhiên khi thấy có lúc topic này bị khóa

 

 


1) Xem cách đăng bài tại đây
2) Học gõ công thức toán tại: http://diendantoanho...oạn-thảo-latex/
3) Xin đừng đặt tiêu đề gây nhiễu: "Một bài hay", "... đây", "giúp tớ với", "cần gấp", ...
4) Ghé thăm tôi tại 
http://Chúlùnthứ8.vn

5) Xin đừng hỏi bài hay nhờ tôi giải toán. Tôi cực gà.


#2
NMDuc98

NMDuc98

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 314 Bài viết

1) Họ và tên thât: Nguyễn Minh Đức.

2) Đang học lớp : 10A. Trường: THPT Lê Quảng Chí. Huyện: Kỳ Anh. Tỉnh: Hà Tĩnh

3) Đề:

 Cho các số thực dương $x,y,z,t$ thỏa mãn $xyzt=1$.Chứng minh rằng:

$\frac{1}{x^3(yz+zt+ty)}+\frac{1}{y^3(xz+zt+tx)}+\frac{1}{z^3(xt+ty+yx)}+\frac{1}{t^3(xy+yz+zx)}\geq \frac{4}{3}~~~~~(*)$

4) Đáp án:

Với $x,y,z,t$,đặt: $a=\frac{1}{x};b=\frac{1}{y};c=\frac{1}{z};d=\frac{1}{t}$$a=\frac{1}{x};b=\frac{1}{y};c=\frac{1}{z};d=\frac{1}{t}$ 

Suy ra : $a,b,c,d>0$ và $abcd=1$

$(*)<=>\frac{1}{\frac{1}{a^3}\left ( \frac{1}{bc}+\frac{1}{cd}+\frac{1}{bd} \right )}+\frac{1}{\frac{1}{b^3}\left ( \frac{1}{ac}+\frac{1}{cd}+\frac{1}{ad} \right )}+\frac{1}{\frac{1}{c^3}\left ( \frac{1}{ad}+\frac{1}{bd}+\frac{1}{ab} \right )}+\frac{1}{\frac{1}{d^3}\left ( \frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac} \right )}\geq \frac{4}{3}$

$<=>\frac{a^3}{\frac{b+c+d}{bcd}}+\frac{b^3}{\frac{c+d+a}{cda}}+\frac{c^3}{\frac{d+a+b}{dab}}+\frac{d^3}{\frac{a+b+c}{abc}}\geq \frac{4}{3}$

$<=>\frac{a^3}{a(b+c+d)}+\frac{b^3}{b(c+d+a)}+\frac{c^3}{c(d+a+b)}+\frac{d^3}{d(a+b+c)}\geq \frac{4}{3}$ (vì $abcd=1$)

$<=>\frac{a^2}{b+c+d}+\frac{b^2}{c+d+a}+\frac{c^2}{d+a+b}+\frac{d^2}{a+b+c}\geq \frac{4}{3}~~~~~~(**)$ 

Đăt:$A=\frac{a^2}{b+c+d}+\frac{b^2}{c+d+a}+\frac{c^2}{d+a+b}+\frac{d^2}{a+b+c}$.

Áp dụng BĐT Bunhiacopxki,ta có:

$A\left [ (b+c+d)+(c+d+a)+(d+a+b)+(a+b+c) \right ]\geq (a+b+c+d)^2$

$=>A\geq\frac{(a+b+c+d)^2}{3.(a+b+c+d)}=\frac{a+b+c+d}{3}~~~~~(***)$

Mặt khác:

Theo BĐT AM-GM , ta có: $a+b+c+d\geq 4\sqrt[4]{abcd}=4$

Từ $(***)=>A\geq \frac{4}{3}$

=> $(**)$đúng => $(*)$ đúng.

Dấu "=" xảy ra $<=>x=y=z=t=1$

=> Bài toán được chứng minh.


Nguyễn Minh Đức

Lặng Lẽ

THPT Lê Quảng Chí (Hà Tĩnh)


#3
19kvh97

19kvh97

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 423 Bài viết

Đề Bất Đẳng Thức ,Cực Trị của toán thủ MHS03 19kvh97:

Cho các số thực $a,b,c$ thỏa mãn:

$\left\{\begin{matrix} a,b,c\geq 0 & & \\ (a^2+c^2)(b^2+2)+2b^2=(3-ac)(3+ac) & & \end{matrix}\right.$

Tìm GTNN của biểu thức

$P=\sum \frac{1}{(a^2+2)a^2+2}$

Bài làm

ta có $(a^2+c^2)(b^2+2)+2b^2=(3-ac)(3+ac)$

$\Leftrightarrow a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+2(a^2+b^2+c^2)=9$

Đặt $\left\{\begin{matrix} a^2+1=x & & \\ b^2+1=y & & \\ c^2+1=z & & \end{matrix}\right.\Rightarrow x,y,z\geq 1$

nên ta có $(x-1)(y-1)+(y-1)(z-1)+(z-1)(x-1)+2(x+y+z-3)=9$

$\Leftrightarrow xy+yz+xz=12$

khi đó $P=\sum \frac{1}{x^2+1}$

ta lại có với mọi $m,n\geq 1$ thì 

$\frac{1}{m^2+1}+\frac{1}{n^2+1}\geq \frac{2}{mn+1}(*)$ thật vậy

$(*)\Leftrightarrow (mn-1)(m-n)^2\geq 0$ (luôn đúng với mọi  $m,n\geq 1$)

ĐTXR khi $m=n$

Áp dụng $(*)$ ta có $P\geq \sum \frac{1}{xy+1}$

mà $\sum \frac{1}{xy+1}\geq \frac{9}{xy+yz+xz+3}=\frac{3}{5}$ (ĐTXR khi $x=y=z=2$

do đó $minP=\frac{3}{5}$ khi $a=b=c=1$



#4
19kvh97

19kvh97

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 423 Bài viết

BQT sửa đề của em 1 chút đó là bỏ cho em DK $a,b,c\geq 0$ đi ạ



#5
TonnyMon97

TonnyMon97

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 124 Bài viết

Cho các số thực dương a,b,c và $ab+bc+ac=3$

Tìm GTNN của $P=\sum \tfrac{1}{a+b}-\frac{\sum a}{6}-\frac{3}{\sum a}+\frac{1}{(\sum a).abc}$

Giải:

Đặt $x=a+b+c$

       $y=ab+bc+ac=3$

       $z=abc$

$\Rightarrow x^2\geq3y=9$                    (1)

$\Rightarrow x^3-4xy+9z=x^3-12x+9z\geqslant 0$           (2)

$\Rightarrow y^2\geq3xz$               (3)

Ta có $P=\frac{(a+b)(b+c)+(b+c)(a+c)+(a+c)(a+b)}{(a+b)(a+c)(b+c)}-\frac{a+b+c}{6}-\frac{3}{a+b+c}+\frac{1}{(a+b+c)abc}$

             $=\frac{x^2+y}{xy-z}-\frac{x}{6}-\frac{3}{x}+\frac{1}{xz}$

Mặt khác ta cm được BĐT sau: $\frac{x^2+y}{xy-z}\geqslant \frac{x}{6}+\frac{3}{x}$

$\Leftrightarrow 6x(x^2+y)\geqslant (x^2+18)(xy-z) \Leftrightarrow 3x^3-x^3y+x^2z+18z-12xy\geq0$

$\Leftrightarrow 3x^3-36x+x^2zz+18z\geq0$           ( Do $y=3$)

$\Leftrightarrow 3(x^3-12x+9z)+z(x^2-9)\geqslant 0$       Đúng do (1) và (2)

Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c=1$

$\Rightarrow P\geqslant \frac{1}{xz}$

Từ (3) ta lại có $\frac{1}{xz}\geqslant \frac{3}{y^2}=\frac{1}{3}$

Vậy Min$P=\frac{1}{3}$ đạt được khi $a=b=c=\frac{1}{3}$

 

Em đã nộp đề rồi. Cái này nộp thêm thôi,


                          "Số nguyên tố là để nhân chứ không phải để cộng."
                                                                                                                       Lev Landau




1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh