742 replies to this topic

[anhxtanh1879]

Cho $\Delta ABC$ có $\angle C$ không nhọn. Đặt $BC = a, CA = b, AB = c$. Hãy tìm GTNN của:

$P = (1 + \frac{a}{b})(1 + \frac{b}{c})(1 + \frac{c}{a})$

Vì $\angle C \geq 90^{o}$ nên $c^{2} \geq a^{2} + b^{2} \geq \frac{(a + b)^{2}}{2} \Rightarrow c \geq \frac{a + b}{\sqrt{2}}$

Ta có:

$P = 2 + (\frac{a}{b} + \frac{b}{a}) + (\frac{a}{c} + \frac{b}{c}) + (\frac{c}{a} + \frac{c}{b}) \geq 4 + \frac{4c}{a + b} + \frac{a + b}{c} = 4 + (\frac{2c}{a + b} + \frac{a + b}{c}) + \frac{2c}{a + b} \geq 4 + 2\sqrt{2} + \frac{\frac{2(a + b)}{\sqrt{2}}}{a + b} = 4 + 3\sqrt{2}$

Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow \Delta ABC$ vuông cân tại $C$

Edited by anhxtanh1879, 26-09-2015 - 13:16.

[thanhhiencherry267]

Câu 1: Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn abc$\leq$1

Chứng minh rằng  

$\frac{a}{c}+\frac{b}{a}+\frac{c}{b}\geqslant a+b+c$

 

Câu 2: Chứng minh rằng nếu $a> b> c$ thì  $\frac{2a^{2}}{a-b}+\frac{b^{2}}{b-c}> 2a+3b+c$

 

Câu 3: Cho 3 số dương a,b,c thỏa mãn $\sqrt{a^{2}+b^{2}}+\sqrt{b^{2}+c^{2}}+\sqrt{c^{2}+a^{2}}=\sqrt{2014}$

Chứng minh rằng:  $\frac{a^{2}}{b+c}+\frac{b^{2}}{c+a}\frac{c^{2}}{a+b}\geqslant \frac{1}{2}\sqrt{1007}$

 

[Coppy dera]

Câu 1: Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn abc$\leq$1

Chứng minh rằng  

$\frac{a}{c}+\frac{b}{a}+\frac{c}{b}\geqslant a+b+c$

 

Câu 2: Chứng minh rằng nếu $a> b> c$ thì  $\frac{2a^{2}}{a-b}+\frac{b^{2}}{b-c}> 2a+3b+c$

 

Câu 3: Cho 3 số dương a,b,c thỏa mãn $\sqrt{a^{2}+b^{2}}+\sqrt{b^{2}+c^{2}}+\sqrt{c^{2}+a^{2}}=\sqrt{2014}$

Chứng minh rằng:  $\frac{a^{2}}{b+c}+\frac{b^{2}}{c+a}\frac{c^{2}}{a+b}\geqslant \frac{1}{2}\sqrt{1007}$

 

Bài 1: $\sum \frac{a}{c}+\frac{a}{c}+\frac{c}{b}\geq\sum 3\sqrt[3]{\frac{a^2}{bc}}=\sum 3\sqrt[3]{\frac{a^3}{abc}}=3(a+b+c) \Rightarrow Đpcm$

[huonggiang121]

Cho $a^{2}+b^{2}+c^{2}=1$. CMR:

$\frac{a}{b^{2}+c^{2}}+\frac{b}{c^{2}+a^{2}}+\frac{c}{a^{2}+b^{2}}\geq \frac{3\sqrt{3}}{2}$

[huonggiang121]

Cho $x,y> 0$ và $\sqrt{xy}(x-y)=x+y. Tìm Min P=x+y$

[Element hero Neos]

Cực trị của hàm số nè! 

[vutuannam]

cho a,b,c là độ dài 3 cạnh tam giác.CMR

$\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{c+a-b}+\frac{1}{a+b-c}\geq \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$

Edited by vutuannam, 21-11-2015 - 20:36.

[mam1101]

cho a,b,c là độ dài 3 cạnh tam giác.CMR

$\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{c+a-b}+\frac{1}{a+b-c}\geq \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$

Áp dụng $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} \geq \frac{4}{a+b}.$

Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c$ hay đó là tam giác đều.

Edited by mam1101, 21-11-2015 - 20:44.

[ViTuyet2001]

Cho $a; b; c > 0$ 

 

$Cmr:\frac{a^{3}}{b}+\frac{b^{3}}{c}+\frac{c^{3}}{a}\geq ab+bc+ca$

[mam1101]

Áp dụng Cauchy $\frac{a^{3}}{b} + \frac{b^{3}}{c} + bc \geq 3ab$

Tương tự với các cái còn lại

[ViTuyet2001]

Áp dụng Cauchy $\frac{a^{3}}{b} + \frac{b^{3}}{c} + bc \geq 3ab$

Tương tự với các cái còn lại

Là áp dụng BĐT Cauchy nhưng mình làm là:

 

 $\frac{a^{3}}{b}+ab\geq 2a^{2}$

 

 $\frac{b^{3}}{c}+bc\geq 2b^{2}$

 

$\frac{c^{3}}{a}+ca\geq 2c^{2}$

 

$\Rightarrow \frac{a^{3}}{b}+\frac{b^{3}}{c}+\frac{c^{3}}{a}+ab+bc+ca\geq 2\left ( a^{2}+b^{2}+c^{2} \right )$

 

Áp dụng lần nữa BĐT Cauchy với :

 

$a^{2}+b^{2}\geq 2ab; b^{2}+c^{2}\geq 2bc; c^{2}+a^{2}\geq 2ca$

 

$\Rightarrow \frac{a^{3}}{b}+\frac{b^{3}}{c}+\frac{c^{3}}{a}\geq ab+bc+ca$

 

PS: hơi dài thì phải =_=

[ViTuyet2001]

1, Cho $a,b,c> 0$ và $\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}=2$

 

    $Cmr: abc\leq \frac{1}{8}$

 

2, Cho $a,b,c>1$

 

    $Cmr: \frac{4a^{2}}{a-1}+\frac{5b^{2}}{b-1}+\frac{3c^{2}}{c-1}\geq 48$

 

3, Cho $a,b,c>0$

 

    $Cmr: \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq 3\left ( \frac{1}{a+2b}+\frac{1}{b+2c}+\frac{1}{2c+a} \right )$

 

4, Cho $a,b,c>0$

 

    $Cmr: \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\geq \frac{a+b+c}{\sqrt[3]{abc}}$

[mam1101]

$\frac{1}{a+1} = 1 - \frac{1}{b+1} + 1 - \frac{1}{c+1}$

 $= \frac{b}{b+1} +  \frac{c}{c+1}$ $\geq$ $\sqrt{\frac{bc}{(b+1)(c+1)}}$

Tương tự rồi nhân vế theo vế 

2. (a-2)² $\geq$ 0

Nên a² $\geq$ 4a -4

Tương tự với b²,c²

3. $\frac{1}{a} +\frac{1}{b} + \frac{1}{b} \geq \frac{9}{a+2b}$  

4. Đang suy nghĩ 

[ViTuyet2001]

 

3. $\frac{1}{a} +\frac{1}{b} + \frac{1}{b} \geq \frac{9}{a+2b}$  

4. Đang suy nghĩ 

bạn giải thích rõ câu 3 đc ko ?

[mam1101]

Áp dụng cái $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \geq \frac{9}{a+b+c}$

[ViTuyet2001]

Áp dụng cái $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \geq \frac{9}{a+b+c}$

 

Cảm ơn nha.

 

$\frac{1}{a+1} = 1 - \frac{1}{b+1} + 1 - \frac{1}{c+1}$

 $= \frac{b}{b+1} +  \frac{c}{c+1}$ $\geq$ $\sqrt{\frac{bc}{(b+1)(c+1)}}$

Tương tự rồi nhân vế theo vế 

 

 

ở câu 1 này sử dụng bất đẳng thức cauchy phải là :

 

$2\sqrt{\frac{ab}{\left ( 1+a \right )\left ( 1+b \right )}}$ chứ 

[mam1101]

Cảm ơn nha.

 

 

ở câu 1 này sử dụng bất đẳng thức cauchy phải là :

 

$2\sqrt{\frac{ab}{\left ( 1+a \right )\left ( 1+b \right )}}$ chứ 

Đúng rồi. Bài 4 mình chịu rồi

[ViTuyet2001]

Đúng rồi. Bài 4 mình chịu rồi

mình làm xong bài tập đã, tối mai mình đăng cách giải nha

[royal1534]

Đúng rồi. Bài 4 mình chịu rồi

 

 

 

4, Cho $a,b,c>0$

 

    $Cmr: \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\geq \frac{a+b+c}{\sqrt[3]{abc}}$

 

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có:

$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{a}{b} \geq 3\sqrt[3]{\frac{a.a.b}{b.c.b}}=3\frac{a}{\sqrt[3]{abc}}$

Thiết lập các bđt tương tự và cộng lại ta có đpcm

[mam1101]

 

 

 

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có:

$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{a}{b} \geq 3\sqrt[3]{\frac{a.a.b}{b.c.b}}=3\frac{a}{\sqrt[3]{abc}}$

Thiết lập các bđt tương tự và cộng lại ta có đpcm

 

Quên. Đi thi kiểu này thì nát mất

Đề BĐt hsg huyện mình

Tìm Min,Max của A=3x + x$\sqrt{5-x^{2}}$