Hôm nay, 27/12 là kỉ niệm ngày sinh Jacob Bernoulli
Jacob Bernoulli (còn được biết đến với tên James hoặc Jacques) (27/12/1654 – 16/8/1705) là nhà toán học người Thụy Sĩ. Cống hiến chủ yếu của ông là vào hình học giải tích, lý thuyết xác suất, phép tính biến phân. Bất đẳng thức Bernoulli thường được dạy trong thường phổ thông mang tên này để vinh danh ông. Bernoulli cùng với Newton và Leibniz là một trong những người đầu tiên phát triển phép tính vi phân và tích phân nhưng ông đã có những tìm hiểu cao hơn. Trong cuộc tranh cãi giữa Newton và Leibniz, ông đã đứng về phía Leibniz. Cuốn sách "Nghệ thuật phỏng đoán", tài liệu đầu tiên của loài người về về lý thuyết xác suất của ông mãi đến năm 1713, tức là 8 năm sau khi Bernoulli mất mới được xuất bản. Năm 1713 sau đó đã được coi là năm khởi đầu của Lý thuyết xác suất. Ông còn có một người em trai kém 12 tuổi và cũng là một nhà toán học nổi tiếng Johann Bernoulli. Hai anh em Jacob và Johann đã cũng nhau sáng lập ra phép tính biến phân. Gia đình nhà Bernoulli về sau còn sản sinh ra nhiều nhà toán học tài năng.
Các đóng góp vĩ đại của Jacob Bernoulli cho toán học:
1) "Người cha" của Lý thuyết xác suất.
Cuốn sách "Ars Cọnectandi" - Nghệ thuật phỏng đoán của ông được xuất bản năm 1713 là tài liệu đầu tiên về Lý thuyế xác suất.
Cuốn sách gồm có 4 phần.
Phần I - "Tractatum Hugenii De Ratiociniis in Lugo Aleae, Cum Annotationibus Jacobi Bernoulli" - Một bản chú thích của De Ratiociniis in Lugo Aleae.
Phần II - "Doctrinam de Permutationibus & Combinationibus". Trong phần này, ông chứng minh công thức Nhị thức Newton.
Phần III - "Usum Praecedentis Doctrinam in variis Sortitionibus & Ludins Aleae" - Phần này, ông đưa ra một số ứng dụng của phần II cho nhiều vấn đề xác suất.
Và phần cuối cùng cũng là phần quan trọng nhất, phần IV - "Usum & Applicationem Praecedentis Doctrinam in Civilibus Moralibus & Oeconomicis". Trong phần này, ông phát triển một trong 3 định luật cơ bản của xác suất, thứ mà ngày nay người ta gọi là Luật Số lớn Yếu (Tiếng Anh: Weak Law of Lager Numbers) . Để biết ơn việc tìm ra Luật Số lớn Yếu, ngày nay, giới xác suất thống kê toán học đặt tên định luật này là Luật số lớn Bernoulli.
Phép thử Bernoulli (được đặt theo tên của ông) là một sơ đồ của lý thuyết xác suất đặt cơ sở trên các phép thử độc lập, mà mỗi phép thử này có thể nhận một trong hai kết quả thành công hay thất bại. Xác suất của một biến cố sẽ được xác định bởi phép phân bố nhị thức.
2) Tìm ra số $e$
Khi nghiên cứu bài toán lãi kép, ông đã tìm ra hằng số $e$, một hằng số rất quan trọng của toán học:
$$e=\lim_{n\to\infty} \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n \approx 2,71828...$$
3) Bất đẳng thức Bernoulli
Với mọi số thực $x \geq -1$ và mọi số nguyên $r \geq 0$, ta có:
$$(1 + x)^r \geq 1 + rx$$
4) Phương trình vi phân Bernoulli (1695)
Là phương trình vi phân có dạng:
$$y'+ P(x)y = Q(x)y^n, n \neq 1$$
5) Số Bernoulli và đa thức Bernoulli
Số Bernoulli $B_k \quad (k=1,\, 2,\,3,...)$ là những hệ số thỏa mãn khai triển chuỗi sau:
$$\dfrac{x}{e^x-1} =\sum_{k=0}^\infty \dfrac{B_k}{k!}x^k$$
Với $B_n$ là các số Bernoulli, đa thức $B_n(x)$ thỏa mãn ba điều kiện sau thì được gọi là đa thức Bernoulli
$$\left\{\begin{array}{ll} B_0(x)=1&\\ \dfrac{d}{dx}B_n(x)=nB_{n-1}(x)&(n\ge 1)\\ \int_0^1 B_n(x)dx=0&(n\ge 1)\end{array}\right.$$
Các số và Đa thức Bernoulli có ứng dụng bao trùm lên hầu hết các Tổng sơ cấp. Diễn đàn toán học đã có chùm bài viết về số Bernoulli tại đây
6) Đường Lemniscate của Bernoulli
Trên mặt phẳng, cho hai điểm cố định $F_1;F_2$ có khoảng cách $F_1F_2=2a$. Quỹ tích điểm $P$ sao cho:
$$PF_1.PF_2 = a^2$$
được gọi là đường Lemniscate của Bernoulli (ông phát hiện ra nó năm 1694).
Phương trình của nó là:
$$(x^2 + y^2)^2 = 2a^2 (x^2 - y^2)$$
