Bổ đề $1$ : Mọi số chính phương lẻ đều có dạng $4k+1$ với $k$ là một số nguyên dương hoặc nói cách khác là chia cho $4$ dư $1$ .
Xét số nguyên dương $a$ bất kỳ vì theo giả thiết thì $a$ lẻ nên $a$ có dạng $4b+1$ hoặc $4b+3$ với $b$ nguyên dương
Nếu $a=4b+1$ ta có $a^{2}=(4b+1)^{2}=16b^{2}+8b+1=4(4b^{2}+2)+1$ chia $4$ dư $1$
Nếu $a=4b+3$ ta có $a^{2}=(4b+3)^{2}=16b^{2}+24b+9=16b^{2}+24b+8+1=4(4b^{2}+6b+2)+1$ chia $4$ dư $1$
Bổ đề được chứng minh .
Bổ đề $2$ : Với mọi số nguyên dương $n$ lẻ thì $n(3n+2)$ sẽ chia cho $4$ dư $1$
Do $n$ lẻ nên $n$ chỉ có dạng $4a+1$ hoặc $4a+3$ với $a$ là số nguyên dương
Nếu $n=4a+1$ thì $n(3n+2)=(4a+1)(12a+5)=4a(12a+5)+4(3a+1)+1$ chia $4$ dư $1$
Nếu $n=4a+3$ thì $n(3n+2)=(4a+3)(4a+11)=4a(4a+11)+12a+32+1$ chia $4$ dư $1$
Bổ đề được chứng minh
Ta có một tính chất của số nguyên tố là nếu hai số dương $a,b$ mà $a^{b}$ chia hết cho $p$ là số nguyên tố thì $a^{b}$ chia hết cho $p^{b}$ , ta viết lại phương trình
$(n^{2}+1)^{2^{k}}.(44n^{3}+11n^{2}+10n+2)=N^{m}$
Lũy thừa cơ số $2$ của hai vế rõ ràng phải bằng nhau .
Xét $n$ chẵn , khi đó $(n^{2}+1)^{2^{k}}$ là số lẻ , đặt $n=2a$ với $a$ là số nguyên dương
Khi đó ta có :
$44n^{3}+11n^{2}+10n+2=44n^{3}+11.4a^{2}+4.5a+2=2(22n^{2}+22a^{2}+20a+1)$
Ta nhận thấy $(n^{2}+1)^{2^{k}}$ và $22n^{2}+22a^{2}+20a+1=2(11n^{2}+11a^{2}+10a)+1$ đều là số lẻ nên khi đó vế trái chỉ chia hết cho $2$ , mặt khác do $2$ là số nguyên tố , áp dụng tính chất nêu ban đầu ta có vế phải chia hết cho $2^{m}$ còn vế trái chỉ chia hết cho $2$ , do đó $m=1$
Xét $n$ lẻ , đặt $n=2a+1$ với $a$ nguyên dương :
$n^{2}+1=(2a+1)^{2}+1=4a^{2}+4a+2=2(2a(a+1)+1)$ chỉ chia hết cho $2$ do có $2a(a+1)+1$ là số chẵn
Vì vậy $(n^{2}+1)^{2^{k}}$ chỉ chia hết cho $2^{2^{k}}$
Còn khi đó $44n^{2}+10n+2+11n^{2}$ hiển nhiên là số lẻ do $n$ lẻ .
Trong trường hợp này thì vế trái chỉ chia hết cho $2^{2^{k}}$
Vì vậy vế phải cũng chỉ chia hết cho $2^{2^{k}}$ , khi đó $N$ là số chẵn
Đặt $N=2^{t}.u$ với $t,u$ là các số nguyên dương và $u$ lẻ .
Ta có $N^{m}=2^{mt}.u^{m}$ , vì lũy thừa cố số hai của hai vế bằng nhau nên ta có ngay
$2^{mt}=2^{2^{k}}$
$<=>mt=2^{k}$
Nếu $m=1$ ta có ngay điều phải chứng minh , nếu $m>1$ thì do vế trái là lũy thừa của $2$ là số nguyên tố nên tồn tại số nguyên dương $r$ để mà $m=2^{r}$ với $r>1$ , khi đó $m$ chẵn nên $N^{m}$ là số chính phương .
Hiển nhiên $(n^{2}+1)^{2^{k}}$ và $N^{m}$ đều là số chính phương nên
$44n^{3}+11n^{2}+10n+2$ cũng là số chính phương
Ta có $44n^{3}+11n^{2}+10n+2=(44n^{3}+8n^{2}+8n)+(3n^{2}+2n+2)\equiv 3n^{2}+2n+2(mod4)$
Theo bổ đề một thì phải có $44n^{3}+11n^{2}+10n+2\equiv 1(mod4)$
Nên ta phải có $3n^{2}+2n+1\equiv 0(mod4)$
Theo bổ đề $2$ thì $3n^{2}+2n+1=n(3n+2)+1\equiv 1+1=2(mod4)$
Do đó ta có điều vô lý và ta có ngay đpcm , tức là $m=1$
Chỗ màu đỏ Xét thiếu trường hợp k = 0
Điểm bài: 9
Điểm thảo luận: 1
S = 10,3 + 9*3 + 1= 38.3
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 22-01-2014 - 21:31
Tổng hợp điểm