Chủ đề này có 3 trả lời

[Yagami Raito]

Chứng minh các BĐT sau: 

$\boxed{1}$. Cho $a,b$ là các số dương tùy ý. Cmr:

 

$[(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)]^2 \geq (a^2+b^2-c^2)(b^2+c^2-a^2)(c^2+a^2-b^2)$

 

$\boxed{2}$ $a,b,c$ dương. CMR: 

 

$$\sum \sqrt{\dfrac{a^2+2b^2}{a^2+ab+bc}} \geq 3$$

 

$\boxed{3}$ $a,b,c$ dương. CMR

 

$$(1+a+b+c)(1+ab+bc+ca) \geq 4\sqrt{2(a+bc)(b+ca)(c+ab)}$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Yagami Raito: 23-02-2014 - 11:29

[hoctrocuanewton]

bài 2: đã có ở đây

[Hoang Tung 126]

Chứng minh các BĐT sau: 

$\boxed{1}$. Cho $a,b$ là các số dương tùy ý. Cmr:

 

$[(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)]^2 \geq (a^2+b^2-c^2)(b^2+c^2-a^2)(c^2+a^2-b^2)$

 

$\boxed{2}$ $a,b,c$ dương. CMR: 

 

$$\sum \sqrt{\dfrac{a^2+2b^2}{a^2+ab+bc}} \geq 3$$

 

$\boxed{3}$ $a,b,c$ dương. CMR

 

$$(1+a+b+c)(1+ab+bc+ca) \geq 4\sqrt{2(a+bc)(b+ca)(c+ab)}$$

Bài 1:-Nếu $a^2,b^2,c^2$ không phải là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác thì $a^2+b^2< c^2,b^2+c^2< a^2,a^2+c^2< b^2= > (a^2+b^2-c^2)(b^2+c^2-a^2)(a^2+c^2-b^2)< 0$

Mà $(a+b-c)^2(b+c-a)^2(c+a-b)^2\geq 0$ nên BĐT đúng

-Nếu $a^2,b^2,c^2$ là 3 cạnh của tam giác thì $a^2+b^2> c^2,b^2+c^2> a^2,c^2+a^2> b^2$

Ta có:$(a+b-c)^2(b+c-a)^2=(a^2-(b-c)^2)^2=a^4-2a^2(b-c)^2+(b-c)^4\geq a^4-(b^2-c^2)^2< = > (b-c)^2((b+c)^2-2a^2+(b-c)^2)\geq 0< = > 2(b-c)^2(b^2+c^2-a^2)\geq 0$(Luôn đúng do $b^2+c^2-a^2> 0$)

$= > (a+b-c)^2(b+c-a)^2\geq a^4-(b^2-c^2)^2=(a^2-b^2+c^2)(a^2+b^2-c^2)$

Lập các bdt tương tự rồi nhân theo vế và thu gọn ta được $(a+b-c)^2(b+c-a)^2(c+a-b)^2\geq (a^2+b^2-c^2)(b^2+c^2-a^2)(a^2+c^2-b^2)$

[Hoang Tung 126]

Chứng minh các BĐT sau: 

$\boxed{1}$. Cho $a,b$ là các số dương tùy ý. Cmr:

 

$[(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)]^2 \geq (a^2+b^2-c^2)(b^2+c^2-a^2)(c^2+a^2-b^2)$

 

$\boxed{2}$ $a,b,c$ dương. CMR: 

 

$$\sum \sqrt{\dfrac{a^2+2b^2}{a^2+ab+bc}} \geq 3$$

 

$\boxed{3}$ $a,b,c$ dương. CMR

 

$$(1+a+b+c)(1+ab+bc+ca) \geq 4\sqrt{2(a+bc)(b+ca)(c+ab)}$$

Bài 3:Ta có:$(a+b+c+1)(ab+bc+ac+1)=(a+1)(b+1)(c+1)+(a+b)(b+c)(c+a)\geq 2\sqrt{(a+1)(b+1)(c+1)(a+b)(b+c)(c+a)}$

Do đó ta cần CM:$(a+1)(b+1)(c+1)(a+b)(b+c)(c+a)\geq 8(a+bc)(b+ac)(c+ab)$

Mà $(a+1)(b+c)=(a+bc)+(b+ac)\geq 2\sqrt{(a+bc)(b+ac)}$

Lập các bdt tương tự rồi nhân theo vế có ĐPCM