Cho a,b,c>0 và ab+bc+ca=3. Chứng minh rằng $\frac{1}{1+a^2(b+c)}+\frac{1}{1+b^2(c+a)}+\frac{1}{1+c^2(a+b)}\leq \frac{1}{abc}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi binvippro: 24-02-2014 - 21:44
Cho a,b,c>0 và ab+bc+ca=3. Chứng minh rằng $\frac{1}{1+a^2(b+c)}+\frac{1}{1+b^2(c+a)}+\frac{1}{1+c^2(a+b)}\leq \frac{1}{abc}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi binvippro: 24-02-2014 - 21:44
Cho a,b,c>0 và ab+bc+ca=3. Chứng minh rằng $\frac{1}{1+a^2(b+c)}+\frac{1}{1+b^2(c+a)}+\frac{1}{1+c^2(a+b)}\leq \frac{1}{abc}$
từ $ab+bc+ca=3\Rightarrow abc\leq 1$
áp dụng ta có: $\sum \frac{1}{1+a^2(b+c)}\leq\sum \frac{1}{a(ab+bc+ca)}=\frac{1}{ab+bc+ca}.\left ( \sum \frac{1}{a} \right )=\frac{1}{abc}. "="\Leftrightarrow a=b=c=1$
từ $ab+bc+ca=3\Rightarrow abc\leq 1$
áp dụng ta có: $\sum \frac{1}{1+a^2(b+c)}\leq\sum \frac{1}{a(ab+bc+ca)}=\frac{1}{ab+bc+ca}.\left ( \sum \frac{1}{a} \right )=\frac{1}{abc}. "="\Leftrightarrow a=b=c=1$
Ngược dấu kìa bạn
Ngược dấu kìa bạn
vì $abc\leq 1$ nên ta suy ra được $\frac{1}{1+a^2(b+c)}\leq \frac{1}{abc+a^2(b+c)}$
từ $ab+bc+ca=3\Rightarrow abc\leq 1$
chỗ này bạn nói rõ chút được không ?
chỗ này bạn nói rõ chút được không ?
chỗ này ta áp dụng BDDT AM-GM (cô-si) cho 3 số ta có:
$ab+bc+ca\geq 3\sqrt[3]{(abc)^2}\Leftrightarrow 3\geq 3\sqrt[3]{(abc)^2}\Rightarrow abc\leq 1$
từ $ab+bc+ca=3\Rightarrow abc\leq 1$
áp dụng ta có: $\sum \frac{1}{1+a^2(b+c)}\leq\sum \frac{1}{a(ab+bc+ca)}=$$\frac{1}{ab+bc+ca}.\left ( \sum \frac{1}{a} \right )=\frac{1}{abc}$. $"="\Leftrightarrow a=b=c=1$
tại sao ra được chỗ màu xanh ạ!
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Element hero Neos: 06-12-2015 - 15:59
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh