a) Chứng minh: ${x_{2014}} < \frac{1}{2}$
b) Chứng minh dãy $(x_n)$ có giới hạn và tìm giới hạn đó.
Bài 2: Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên $[0;2014)$ và thỏa mãn điều kiện:
$$\int\limits_x^{2014} {f(t)dt \ge \frac{{1 + {x^2}}}{2}}$$
Chứng minh rằng: $\int\limits_0^{2014} {{f^2}(t)dt \ge 2014}$
Bài 3: Chứng minh rằng: Không tồn tại $f(x)$ là hàm số dương, liên tục trên $[0, + \infty )$ và thỏa mãn điều kiện: $f'(x) \ge f(f(x))$.
Bài 4: Cho $f(x)$ là hàm số khả vi liên tục đến cấp 3 trên $[0;1]$ . Giả sử: $f(0) = f'(0) = f'(1) = f''(0) = f''(1) = 0$ và $f(1) = 1$. Chứng minh rằng: tồn tại $c \in (0;1)$ sao cho $f'''\left( c \right) \ge 24$.
Bài 1: Tính định thức
$$\Delta _{n + 1} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1 & { - 1} & 0 & {...} & 0 \\ x & h & { - 1} & {...} & 0 \\ {{x^2}} & {hx} & h & { - 1} & 0 \\ {...} & {...} & {...} & \ddots & \vdots \\ {{x^n}} & {{x^{n - 1}}} & {{x^{n - 2}}} & {...} & h \\ \end{array}} \right|$$
Bài 2: Cho $A,B$ là các ma trận vuông cấp $n$ thỏa mãn: $rank (AB-BA)=1$. Chứng minh rằng: $(AB - BA)^2 = 0$.
Bài 3: Chứng minh rằng hệ các vector $\left \{ \sin x,\cos x,\sin 2x, \cos 2x,...,\sin nx, \cos nx,... \right \}$ là độc lập tuyến tính trong không gian vecto các hàm liên tục trên đoạn $[0,2\pi ]$.
Bài 4: Cho $P(x)$ là đa thức hệ số thực bậc $n$ có đủ $n$ nghiệm thực. Chứng minh bất đẳng thức sau đúng với mọi $x \in \mathbb{R}$
$$ n{(P'(x))^2} \ge (n - 1)P''(x)P(x)$$.
