Cho hình lăng trụ đứng $ABC.A'B'C'$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $B,\widehat{BAC} = 60^0 $, bán kính đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$ bằng $\frac{{\left( {\sqrt 3 - 1} \right)a}}{2}$ và khoảng cách giữa hai đường thẳng $A'B$ và $AC$ bằng $\frac{{a\sqrt {15} }}{5}$ . Tính theo $a$ thể tích khối lăng trụ $ABC.A'B'C'$.
Toán thủ ra đề
vipkutepro
Giả sử $AB=x$
$\cos BAC=\frac{AB}{AC}$ suy ra $AC=2x$. và $BC=\sqrt{AC^2-AB^2}=a\sqrt{3}$
ta có bán kính đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$ là $r=\frac{AB+BC-AC}{2}=\frac{(\sqrt{3}-1)a}{2}$ suy ra $x=a$
Gọi $KE$ là đoạn vuông góc chung của $A'B$ và $AC$ suy ra $KE=\frac{a\sqrt{15}}{5}$ $(K\epsilon A'B;E\epsilon AC)$
trên $(ABC)$ kẻ $EF$ vuông góc với $AB$ suy ra $EF$ song song với $BC$
mà $BC$ vuông góc với $AB$ và $BB'$ nên $BC$ vuông góc với mặt phẳng $(A'AB)$
suy ra $EF$ vuông góc với $(A'AB)$ hay $EF$ vuông góc với $A'B$ do đó $A'B$ vuông góc với mặt $KEF$
nên $A'B$ vuông góc với $FK$
Giả sử $\vec{EC}=k\vec{AC}$$\Rightarrow \vec{AF}=(1-k)\vec{AB}$
ta có $EF$ song song với $BC$ nên $\frac{FB}{AB}=\frac{EC}{AC}=|k|\Rightarrow FB=|k|a$
$\frac{FE}{BC}=\frac{AF}{AB}=|1-k|\Rightarrow FE=a\sqrt{3}|1-k|$
do $EF$ vuông góc với mặt $(A'AB$ nên $EF$ vuông góc với $FK$
do đó theo Pitago ta có $FK=\sqrt{KE^2-FE^2}=a\sqrt{\frac{3}{5}-3(1-k)^2}$ $(\frac{3}{5}-3(1-k)^2\geq 0)(i)$
suy ra $\cos KFB=\frac{KF}{FB}=\frac{\sqrt{\frac{3}{5}-3(1-k)^2}}{|k|}$
Xét tích $\vec{KE}.\vec{AC}=(\vec{FE}-\vec{FK})(\vec{BC}-\vec{BA})=\vec{FE}.\vec{BC}-\vec{FK}.\vec{AB}$
mà $KE$ vuông góc với $AC$ nên $\vec{KE}.\vec{AC}=0$
suy ra $FE.BC-FK.AB.\cos KFB=0$
$\Rightarrow |1-k|.a\sqrt{3}.a\sqrt{3}-a\sqrt{\frac{3}{5}-3(1-k)^2}.a.\frac{\sqrt{\frac{3}{5}-3(1-k)^2}}{|k|}=0$
$\Rightarrow |k-k^2|+k^2-2k+\frac{4}{5}=0(*)$
TH1: $k\epsilon (0;1)$ thì $(*)\Leftrightarrow k=\frac{4}{5}(TM(i))$
suy ra $\cos KFB=\frac{\sqrt{3}}{2}$$\Rightarrow \hat{KBF}=60^0$
do đó $A'A=AB\sqrt{3}=a\sqrt{3}$
suy ra $V_{ABC.A'B'C'}=S_{ABC}.A'A=\frac{1}{2}.a.a\sqrt{3}.a\sqrt{3}=\frac{3}{2}a^3$
TH2:$k\epsilon (-\infty ;0]\cup [1;+\infty ]$
thì $(*)\Leftrightarrow 10k^2-15k+4=0\Leftrightarrow \begin{bmatrix} k=\frac{15+\sqrt{65}}{20}(KTM(i)) & & \\ k=\frac{15-\sqrt{65}}{20}(KTM) & & \end{bmatrix}$
Vậy thể tích khối lăng trụ là $\frac{3}{2}a^3$
$\boxed{Điểm: 10}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi CD13: 05-04-2014 - 21:38