Đến nội dung


Hình ảnh
* * * * * 2 Bình chọn

[Archive] Cập nhật list Những bài toán trong tuần (201-300)


  • Chủ đề bị khóa Chủ đề bị khóa
Chủ đề này có 9 trả lời

#1 PSW

PSW

    Những bài toán trong tuần

  • Thành viên
  • 487 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 05-04-2014 - 19:50

Chào các bạn,

BQT lập topic này để cập nhật list Những bài toán trong tuần cho các bạn tiện theo dõi. Các bạn click trực tiếp vào $ \boxed{\text{Bài toán i}}, i \in \{1,..,n\}, n \in \mathbb{N}, n \geq 1 $ để trao đổi về bài toán.
Các bài toán có hoa hồng hi vọng   @};- là các bài toán đã đăng lâu mà chưa ai giải được, người giải được đầu tiên sẽ được nhiều điểm hơn bình thường. Các bài toán màu đỏ là các bài chưa được giải quyết trọn vẹn. Cảm ơn các bạn.


$\boxed{\text{Bài toán 201}}$ 

Cho tam giác $ABC$ với các đường cao $BB',CC'$. Gọi $L,M,N$ lần lượt là trung điểm của $C'B',BC',CB'$. Đường thẳng đi qua $M$ vuông góc với $BL$ cắt đường thẳng đi qua $N$ vuông góc với $CL$ tại $K$. Chứng minh: $KB=KC$.

 

$\boxed{\text{Bài toán 202}}$  @};-

Cho đồ thị $\left(C\right): y= 2x^3-3(2m+1)x^2+6m(m+1)x+1$ và đường thẳng $(\Delta): y=ax+b$.
Tìm $a,b$ để $(\Delta)$ cắt $\left(C\right)$ tại 3 điểm phân biệt $A,B,C$ sao cho $AB=BC$. Khi đó, chứng minh rằng $(\Delta)$ đi qua 1 điểm cố định.

 

$\boxed{\text{Bài toán 203}}$ @};-

Với $n  \geq 2 $, tfm hằng số $\mathcal C(n)$ lớn nhất sao cho với mọi bộ $n$ số thực không âm$ x_1 ; x_2 ; ....; x_n $, thì bất đẳng thức sau luôn đúng :

$$ \left( \sum_{k=1}^n kx_k \right) \left( \sum_{k=1}^n x^2_k \right) \geq \mathcal C(n) \left( \sum_{k=1}^n x_k \right)^3$$
 
Cho ba phương trình

\begin{eqnarray}x^2+ax+ac=0 \\ x^2-bx+c^3=0  \\ x^4-bx^2+c^3=0\end{eqnarray}

Tìm $a,b,c$ để:
a) Từng phương trình trên có nghiệm
b) Các nghiệm của $(1)$ có giá trị tuyệt đối lớn hơn $1$ và các nghiệm của $(1)$ đều là nghiệm của $(3)$.
c) It nhất $1$ nghiệm của $(1)$ thỏa mãn $(2)$

 

$\boxed{\text{Bài toán 205}}$

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $Oxy$, cho đường tròn $x^{2} + y^{2} = 9$. Tìm $m$ để trên đường thẳng $y = m$ tìm được đúng $4$ điểm sao cho từ mỗi điểm đó kẻ được $2$ tiếp tuyến tới đường tròn và hai tiếp tuyến đó tạo với nhau góc $45^o$.

 

$\boxed{\text{Bài toán 206}}$ @};-

Giả sử $x,y,z$ là các số thực dương cho trước. Tìm hình chữ nhật có diện tích lớn nhất trong các hình chữ nhật $ABCD$ thỏa mãn điều kiện tồn tại điểm $P$ nằm trong hình chữ nhật và $PA,PB,PC$ lần lượt bằng $x,y,z$

 

$\boxed{\text{Bài toán 207}}$ @};-

Cho hai đường tròn $(O), (I)$ và dây $AB$ của $(O)$ sao cho $(I)$ tiếp xúc trong với $(O)$ và tiếp xúc với $AB$.
Hãy dựng đường tròn $(J)$ sao cho $(J)$ tiếp xúc trong với $(O)$, tiếp xúc ngoài với $(I)$ và tiếp xúc với $AB$.

 

$\boxed{\text{Bài toán 208}}$

Có bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số đôi một khác nhau mà trong đó 2 chữ số kề nhau không thể cùng là số lẻ

 

 

$\boxed{\text{Bài toán 209}}$

Cho hàm $f : \left ( 0 ; \infty \right ) \to \left ( 0 ; \infty \right )$ là hàm số giảm và khả vi trên $\left ( 0 ; \infty \right )$; $ F$ là nguyên hàm của $f$. Đồng thời $f$ thoả mãn $3$ điều kiện sau :

1/ $\lim_{n\to +\infty}\left ( \frac{f(n+1)}{f(n)} \right ) = 1$
2/ $\lim_{n\to +\infty}F(n)=0$
3/ Hàm $ \frac{f^{'}}{f}$ tăng trên $\left ( 0 ; \infty \right )$

Chứng minh các khẳng định sau :
a/ Dãy $(x_n)_{n \ge 1}$ xác định bởi : $ x_n = f(1) + f(2) +...f(n)$ hội tụ về một số thực $x$ nào đó.
b/ Dãy $(u_n)_{n \ge 1}$ xác định bởi: $ u_n = \frac{ x - x_n}{F(n)}$ đơn điệu nghiêm ngặt và hội tụ. Tìm giới hạn của nó.

$\boxed{\text{Bài toán 210}}$ @};-

Tìm mọi số nguyên $x,y$ sao cho
\[(y^3+xy-1)(x^2+x-y)=(x^3-xy+1)(y^2+x-y).\]


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 22-05-2014 - 14:35

1) Thể lệ
2) Danh sách các bài toán đã qua: 1-100, 101-200, 201-300, 301-400
Còn chờ gì nữa mà không tham gia!  :luoi:
 


#2 PSW

PSW

    Những bài toán trong tuần

  • Thành viên
  • 487 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 23-05-2014 - 20:41

$\boxed{\text{Bài toán 211}}$ @};-
Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại $B$ ($BA=BC=1$) và các cạnh bên $SA=SB=SC=3$. Gọi $K$, $L$ lần lượt là trung điểm của $AC$ và $BC$. Trên cạnh $SA$, $SB$ lần lượt lấy các điểm $M$, $N$ sao cho $SM=BN=1$.
1. Tính thể tích hình chóp $S.ABC$
2. Tính thể tích của tự diện $LMNK$.


$\boxed{\text{Bài toán 212}}$
Cho các số thực $x,y,z$ thuộc $[-2;2]$. Chứng minh rằng:
$$ 2(x^6+y^6+z^6)-(x^4y^2+y^4z^2+z^4x^2)\le 192$$

$\boxed{\text{Bài toán 213}}$
Cho tam giác $ABC$ có 3 cạnh là $a,b,c$, trực tâm $H$, $O$ và $R$ theo thứ tự là tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác. Chứng minh rằng:
$$OH^2 = 9R^2 - a^2 -b^2 - c^2 $$

$\boxed{\text{Bài toán 214}}$
Tính nguyên hàm
$$I=\int \frac{x^4-3}{x(x^8+3x^2+2)}dx$$

$\boxed{\text{Bài toán 215}}$
Giả sử $k>2$ là số nguyên dương và $x$ là số thực sao cho $\cos [(k-1)x]$ và $\cos (kx)$ là số hữu tỉ. Chứng minh rằng có số nguyên dương $n>k$ sao cho $cos[(n-1)x]$ và $cos(nx)$ là số hữu tỉ.

$\boxed{\text{Bài toán 216}}$
Giải hệ phương trình:
$$\left\{\begin{matrix}x^4+2y^3-x=-\dfrac{1}{4}+3\sqrt{3}\\y^4+2x^3-y=-\dfrac{1}{4}-3\sqrt{3}\end{matrix}\right.$$

$\boxed{\text{Bài toán 217}}$
Giải phương trình sau:
$$\dfrac{cos2x+\sqrt{3}sin2x+6sinx-5}{cos^{2}\frac{x}{2}-1}=2\sqrt{3}$$

$\boxed{\text{Bài toán 218}}$
Cho tứ diện $ABCD$ có $S$ là trọng tâm. Một đường thẳng đi qua $S$ cắt các mặt của tứ diện tại $K$ và $L$. Chứng minh rằng:
$$\dfrac{1}{3}\leq\dfrac{KS}{LS}\leq 3$$

$\boxed{\text{Bài toán 219}}$
Giả sử $p$ là số nguyên tố, $a$ và $b$ là các số tự nhiên $(a<b)$ thỏa mãn điều kiện: Tổng các phân số tối giản có mẫu số $p$ nằm giữa $a$ và $b$ bằng $2011$. Tìm các số $p,a,b$.

$\boxed{\text{Bài toán 220}}$ Cho $A\left ( 1;0 \right )$ và hai điểm $B$, $C$ lần lượt thuộc hai đường tròn $x^2+y^2=2$ và $x^2+y^2=5$. Tìm vị trí của $B$ và $C$ trên hai đường tròn sao cho diện tích tam giác $ABC$ đạt giá trị lớn nhất.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PSW: 27-06-2014 - 22:16

1) Thể lệ
2) Danh sách các bài toán đã qua: 1-100, 101-200, 201-300, 301-400
Còn chờ gì nữa mà không tham gia!  :luoi:
 


#3 PSW

PSW

    Những bài toán trong tuần

  • Thành viên
  • 487 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 27-06-2014 - 22:19

$\boxed{\text{Bài toán 221}}$

Với số thực dương $a$ cho trước, tìm tất cả các hàm số khả vi cấp hai $ f : [0; + \infty) \to (0; + \infty)$ thỏa mãn:
$$ f(x) f^{''} (x) \leq -a, \forall x \geq 0$$
Với $a= 0$ thì liệu có tồn tại hàm số thỏa mãn điều kiện trên hay không ?

 

$\boxed{\text{Bài toán 222}}$

Cho tam giác $ABC$ có diện tích $S, M$ là trung điểm $BC$. Gọi $F$ là điểm thuộc $BM$. Đường thẳng qua $F$ và song song $AM$ cắt $AB$ tại $E$. Tìm vị trí của $F$ trên $BM$ để tam giác $ EFC$ có diện tích lớn nhất.

 

$\boxed{\text{Bài toán 223}}$

Cho $1\le x\le y\le z$, chứng minh

$$\frac{1}{8}(x+y)^{x+y-z}(y+z)^{y+z-x}(z+x)^{z+x-y}\ge \left(\frac{3}{2} \right )^{x+y+z-3}x^xy^yz^z$$

 

$\boxed{\text{Bài toán 224}}$

Cho số nguyên dương $n >2$.
Hãy tìm số các số nguyên $a$ thỏa mãn điều kiện: tồn tại song ánh 

$$f:\{1;2;...;n\} \to \{1;2;...;n\}$$

mà 

$$|f(i)-i|=a, \forall i=\overline{1,n}$$

 

$\boxed{\text{Bài toán 225}}$

Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình:
$$x^{y^2}=y^x$$
 
 
Ký hiệu $a,b,c,R,r$ lần lượt là độ dài các cạnh,bán kính đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp tam giác.Chứng minh:
$$a(b+c-a)^2+b(c+a-b)^2+c(a+b-c)^2 \le 6\sqrt{3}R^2(2R-r)$$
 
$\boxed{\text{Bài toán 227}}$ (BÀI TOÁN CỦA THÁNG 7/2014)
 
Ở 1 xứ sở nọ nơi cách rất xa nơi chúng ta đang ở, nơi Mọt Toán sinh sống, các Mọt Toán có hình dạng là 1 dãy các khoang trắng và đen. 1 Mọt Toán được gọi là "đẹp" nếu chỉ gồm toàn các khoang trắng. Việc làm đẹp (tẩy trắng) 1 Mọt Toán được tiến hành như sau : Nếu khoang cuối của Mọt có màu đen, bác sĩ có thể cắt bỏ và ghép 1 khoang màu trắng hoặc đen tùy ý lên đầu con Mọt, nếu khoang cuối của nó màu trắng, thì khoang cuối này sẽ tự biến mất và Mọt Toán tự mọc thêm vào trên đầu 1 khoang (nhưng bác sĩ không biết đc là trắng hay đen). Mặc dù quá trình tẩy trắng phức tạp như vậy nhưng Bác Sĩ Cuội vẫn khắng định có thể làm đẹp 1 mọt toán bất kì. Hỏi bác sĩ nói có đúng không?
 
Tìm $b$ sao cho với mọi $a$ ta đều tìm được $c$ để hệ phương trình sau có nghiệm
$$\left\{\begin{matrix} ax + y = b-1\\ x + ay = c^2 + 2c \end{matrix}\right.$$
 

Trong mặt phẳng toạ độ $xOy$, cho hình vuông $P_1P_2P_3P_4$ có toạ độ các đỉnh lần lượt là: $P_1(1,0); \; P_2(1,1);\;P_3(0,1);\;P_4(0,0)$. Xây dựng đường gấp khúc sau: $P_5$ là trung điểm của $P_1P_2$; $P_6$ là trung điểm của $P_2P_3$; $P_7$ là trung điểm của $P_3P_4$ ... Bằng cách đó ta dựng được đường gấp khúc vô hạn $P_1 P_2 P_3 P_4 P_5 P_6 P_7P_8...$ hội tụ về một điểm $P$ trong hình vuông $P_1P_2P_3P_4$. (xem hình)

post-1788-0-48220700-1379908875.png

 

$\fbox a$ Gọi điểm thứ $n$ trên đường gấp khúc là $P_n(x_n,y_n)$. Chứng minh rằng $\frac{1}{2}x_n+x_{n+1}+x_{n+2}+x_{n+3}=2$. Tìm toạ độ $y_n$.

$\fbox b$ Tìm toạ độ của điểm $P$


1) Thể lệ
2) Danh sách các bài toán đã qua: 1-100, 101-200, 201-300, 301-400
Còn chờ gì nữa mà không tham gia!  :luoi:
 


#4 PSW

PSW

    Những bài toán trong tuần

  • Thành viên
  • 487 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 11-07-2014 - 16:25

$\boxed{\text{Bài toán 231}}$ @};-

Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$.$P$ và $Q$ là hai điểm bất kì thỏa mãn $P,O,Q$ thẳng hàng. Giả sử $A_{1},B_{1},C_{1}$ lần lượt là hình chiếu của $P$ lên $BC,CA,AB$. Gọi $A_{2},B_{2},C_{2}$ lần lượt là các giao điểm của $AQ,BQ,CQ$ với đường tròn $(O)$. Chứng minh rằng tâm ngoại tiếp các tam giác $PA_{1}A_{2},PB_{1}B_{2},PC_{1}C_{2}$ thẳng hàng.

 

$\boxed{\text{Bài toán 232}}$

Cho dãy số thực $(x_k)$ thỏa mãn:

$$|x_{m+n}-x_{m}-x_{n}| < \dfrac{1}{m+n}, \forall m, n \geq 1$$
Chứng minh rằng $(x_k)$ lập thành 1 cấp số cộng.

 

Cho tam giác $ABC$.$(AB<AC)$.$D$ cố định trên $BC$. Một điểm $P$ di động trên $AD$, điểm $E$ trên $BC$ thỏa mãn hệ thức

$$\frac{EC}{EB}=\frac{PD}{PA}+\frac{DB.DC}{AP.AD}$$

Gọi $F$ là giao điểm của $(ABP)$ và $AC$ khác  $A$. Đường tròn $(CEF)$ cắt đường tròn $(O)$ tại $G$ khác $C$.

Chứng minh rằng khi $P$ di chuyển trên $AD$ thì $EG$ luôn đi qua một điểm cố định.

 

$\boxed{\text{Bài toán 234}}$

Cho $a;b;c;d \in \left [ 0;1 \right ]$. Chứng minh rằng:

$$\sum \frac{a}{bc+cd+db+1}\leq \frac{3}{4}+\frac{1}{4abcd}$$

 

 

$\boxed{\text{Bài toán 235}}$

Cho $a,b,c$ lần lượt là độ dài 3 cạnh của tam giác ABC.Nhận dạng tam giác ABC nếu:
$$a^3\sin{\frac{B}{2}}\cos{\frac{C}{2}}+b^3\sin{\frac{C}{2}}\cos{\frac{A}{2}}+c^3\sin{\frac{A}{2}}\cos{\frac{B}{2}}=\frac{3\sqrt{3}abc}{4}$$

 

$\boxed{\text{Bài toán 236}}$ @};-

Cho dãy số thực dương $(a_n)$ thỏa mãn :
$1) \sum_{ k =1 }^{ + \infty } a_k < + \infty $

$2) \sum_{ k =1 }^{ + \infty } \sum_{ j =k }^{ + \infty } a_j < + \infty $
Với $p>1$ là số thực dương cho trước, tính giới hạn :
$$ \lim_{n \to + \infty } \dfrac{1}{n} \sum_{ k =1 }^{ n } k^{ \frac{2}{p} -1} \sum_{ j =k }^{ 2k-1 } (a_j)^{1/p}$$

 

$\boxed{\text{Bài toán 237}}$

Cho tam giác $ABC$ có trực tâm $H$ và các cạnh $a,b,c$. Gọi $x,y,z$ lần lượt là khoảng cách từ $H$ đến các cạnh $BC,CA,AB$. Chứng minh rằng:

$$4 \left(\dfrac{a}{x}+\dfrac{b}{y}+\dfrac{c}{z} \right) = \left(-\dfrac{a}{x}+\dfrac{b}{y}+\dfrac{c}{z}\right) \left( \dfrac{a}{x}-\dfrac{b}{y}+\dfrac{c}{z} \right) \left( \dfrac{a}{x}+\dfrac{b}{y}-\dfrac{c}{z} \right)$$

 

$\boxed{\text{Bài toán 238}}$

Cho ba số thực dương $x,y,z$ thỏa mãn điều kiện

$$\left\{ \begin{array}{l} xyz \leq 2 \\ \dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}+\dfrac{1}{z^2} <k \end{array} \right. $$
Hãy tìm tất cả các giá trị $k\geq 2$ sao cho $x,y,z$ là ba cạnh của tam giác.

 

$\boxed{\text{Bài toán 239}}$ (BÀI TOÁN THÁNG 08/2014)

 

$\boxed{\text{Bài toán 240}}$

Cho dãy số thực $(x_n)$ thỏa mãn $x_i\geqslant 0,i=0,1,2,...,n$ $x_0=1$ và
$$x_i \leqslant x_{i+1}+x_{i+2}$$
Chứng minh:
$$ \sum_{i=0}^{n}x_i\geqslant \frac{f_{n+2}-1}{f_n}$$
($f_{n}$ là dãy Fibonaci.)

 

 


1) Thể lệ
2) Danh sách các bài toán đã qua: 1-100, 101-200, 201-300, 301-400
Còn chờ gì nữa mà không tham gia!  :luoi:
 


#5 PSW

PSW

    Những bài toán trong tuần

  • Thành viên
  • 487 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 23-08-2014 - 21:44

$\boxed{\text{Bài toán 241}}$   
Giải PT nghiệm nguyên

$$x^{2002}+y^{2002}=2003^{2001}(x^{3}+y^{3})$$

 

$\boxed{\text{Bài toán 242}}$
Cho $(P):2x-y+2z-1=0; (Q):2x-y+2z+5=0$ và điểm $A(-1;1;1)$ nằm giữa $(P)$ và $(Q)$. Mặt cầu $(S)$ di động qua $A$, tiếp xúc cả $(P)$ và $(Q)$. Chứng minh rằng $(S)$ có tâm $I$ ở trên hai đường tròn cố định.
 

$\boxed{\text{Bài toán 243}}$
Xác định đa thức $P(x)$ hệ số thực thỏa
$$\sin P\left( x \right) = P\left( {\sin x} \right),\forall x \in \mathbb{R}$$
 

$\boxed{\text{Bài toán 244}}$
Ở một cuộc đua ngựa có 20 con chia đều cho 2 người làm chủ. Các con được xếp thứ tự theo độ nhanh của nó. Người thứ nhất giữ các con 1, 5, 7, 8, 9, 15, 16, 18, 19, 20. Mỗi lần đua 2 người sẽ đưa ra một con ngựa của mình. Nếu thắng thì được 3 điểm, thua bị trừ 1 điểm. Nếu thắng 2 trận liên tiếp nhau thì được cộng thêm 3 điểm, nếu thua liên tiếp 2 trận thì trừ thêm 2 điểm. Người thứ nhất cho các con ngựa của mình thi đấu lần lượt theo số thứ tự của nó. Hỏi có cách nào giúp người thứ hai thắng không?
 
$\boxed{\text{Bài toán 245}}$
Cho số thực $a$ và số thực dương $c>0$
Tìm tập hợp các số phức thỏa :
$$|z-a|-|z+a|=2c$$
 

$\boxed{\text{Bài toán 246}}$  @};- 
Cho đa thức $f(z)=1+\frac{z}{4}+\frac{z^2}{4^2}+...+\frac{z^n}{4^n}$. Chứng minh rằng $\forall z_1 \neq z_2 \in \mathbb{C}$ thỏa mãn $|z_1|,|z_2| \le 1$ thì $$|f(z_1)-f(z_2)| >\frac{|z_1-z_2|}{8}$$
 

$\boxed{\text{Bài toán 247}}$  @};- 
Cho $a, b, c $ là các số thực dương. Chứng minh rằng:
$$\sum \dfrac{\sqrt{a^2+ab+b^2}+\sqrt{a^2+ac+c^2}}{\sqrt{b^2+bc+c^2}}\leq \dfrac{2(a^2+b^2+c^2)^2}{a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2}$$

 

$\boxed{\text{Bài toán 248}}$ BÀI TOÁN THÁNG 9
Người ta đánh giá hiệu suất của một thang máy của một tòa nhà $n$ tầng $(n>2)$ bằng tỉ số $T=\frac{1}{t_2.t_n}$. Trong đó độ cao các tầng được xem là bằng nhau, $t_n$ là thời gian thang máy đáp ứng một cuộc gọi từ tầng $1$ đến tầng $n$ (không dừng giữa hành trình), $t_2$ là thời gian thang máy đáp ứng một cuộc gọi từ tầng $1$ đến tầng $2$ (tất cả không tính thời gian đóng mở cửa). Người ta mong muốn tỉ số $T$ này càng lớn càng tốt, nhưng vẫn phải đảm bảo độ "êm ái" và độ "say" trong giới hạn cho phép.
Độ êm ái là yêu cầu "trơn" về đồ thị của vận tốc (nghĩa là hàm vận tốc khả vi khắp hành trình)
Độ "say" $\Delta a$ là ngưỡng thay đổi về gia tốc mà cơ thể cảm nhận được trong quá trình thang máy di chuyển. Ngưỡng này được quy định $\left|\Delta a\right| \leq 1\, m/{s^2}$ (nghĩa là không vượt quá $1/{10}$ gia tốc trọng trường, lấy $g=10\,m/s^2$)
 
Một tòa nhà $11$ tầng (có thang máy với $11$ điểm dừng) độ cao giữa các tầng là $4\,m$. Biết rằng hiệu suất $T$ của thang máy đạt giá trị lớn nhất. Tính $T$.
 

$\boxed{\text{Bài toán 249}}$  @};-
Alex và Mary thay nhau viết các chữ số 0 hay 1 cho đến khi mỗi người viết được 2001 chữ số. Mary sẽ là người thắng cuộc nếu cô ấy viết được một số trong biểu diễn nhị phân sao cho số đó không thể viết được dưới dạng tổng 2 số chính phương. Chứng mình rằng Mary có chiến thuật để bảo đảm thắng cuộc chơi.

 

$\boxed{\text{Bài toán 250}}$ Cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn: $x^2+y^2+z^2=1$. Tìm Min của:
$A=(x+y+z)^{2}+\dfrac{1}{2}(\dfrac{x^{3}+y^{3}+z^{3}}{xyz}-\dfrac{1}{xy+yz+zx})$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PSW: 14-09-2014 - 21:02

1) Thể lệ
2) Danh sách các bài toán đã qua: 1-100, 101-200, 201-300, 301-400
Còn chờ gì nữa mà không tham gia!  :luoi:
 


#6 PSW

PSW

    Những bài toán trong tuần

  • Thành viên
  • 487 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 14-09-2014 - 21:02

$\boxed{\text{Bài toán 251}}$ 

Cho hàm số: $y = x^4 - 2mx^2 + 2m + 1$
Tìm các điểm $A$ trên $Oy$ mà từ đó kẻ được 2 tiếp tuyến đến ( C )

 

$\boxed{\text{Bài toán 251}}$ 

Xác định tất cả các hàm số $f$ từ $R \mapsto R$ sao cho:

$f(\sqrt{2}x) +f((4+3\sqrt{2})2)=2f((2+\sqrt{2})x)$
 

$\boxed{\text{Bài toán 252}}$ 

Cho hình bình hành $ABCD$.Tia phân giác góc $BAD$ cắt các đuong thẳng $BC, DC$ lần lượt tại $M,N$.Gọi E là giao điểm thứ hai của các đường tròn ngoại tiếp tam giác $BCD$ và $CMN.$ Tính số đo góc $AEC$.

 

$\boxed{\text{Bài toán 253}}$ 

Cho $X=\{1;2;...;n\};Y=\{a_1;...;a_m\}$

Tìm số ánh xạ $f:X \to Y$

 

$\boxed{\text{Bài toán 254}}$   @};- 

$a$ là một số nguyên lớn hơn $1$, và $f$ là một đa thức có bậc dương và có mọi hệ số là các số nguyên không âm. Với $n\geq 1$, đặt $S\left(n\right) = \left\{ f\left( 1\right),\dots, f\left ( n\right)\right\}$.
Chứng minh rằng tồn tại vô số số nguyên dương $n$ sao cho $S\left(n\right)$ có thể được chia thành $a$ tập hợp con sao cho tổng các phần tử trong mỗi tập hợp là bằng nhau.

 

$\boxed{\text{Bài toán 255}}$ 

Cho tam giác ABC có diện tích S.Các điểm $D,E,F$ thứ tự trên các cạnh AB,BC,CA sao cho $AD=DB.BE=\frac{1}{2}EC$ và $CF=\frac{1}{3}FA$.Các đoạn thẳng AE,BF,CD cắt nhau tạo thành một tam giác.Tính diện tích tam giác đó theo S. 

 

$\boxed{\text{Bài toán 256}}$ 

Xác định xác suất để phương trình $x^2 +2ax +b =9$ có 2 nghiệm thực,nếu các hệ số a và b được chọn đồng khả năng từ hình vuông $|a|\le 1;|b|\le 1$ .

 

$\boxed{\text{Bài toán 257}}$ 

Tồn tại hay không số nguyên dương $n$ thỏa mãn: với $k=1,2,...,9$ thì chữ số đầu tiên (tính từ trái sang) của $(n+k)!$ bằng $k$ (ở đây ta biểu diễn các số trong hệ thập phân)

 

$\boxed{\text{Bài toán 258}}$ 

Tìm các số tự nhiên $x$ và $y$ sao cho : $x^x$ có y chữ số, còn $y^y$ có x chữ số.

 

$\boxed{\text{Bài toán 259}}$ 

Một máy bay xuất phát từ thành phố A bay thẳng một quãng đường ngắn hơn nửa chu vi Quả Đất đến thành phố B, rẽ trái 60 độ, bay tiếp quãng đường bằng quãng đường AB đến thành phố C, lại rẽ trái 60 độ, lại bay tiếp quãng đường bằng quãng đường AB nữa đến thành phố D, lại rẽ trái 60 độ lần nữa, cuối cùng bay nốt quãng đường bằng quãng đường AB nữa thì trở về thành phố A. 


Biết bán kính Quả Đất là 6370 km, hỏi máy bay đã bay được cả thảy bao nhiêu km? 

Bạn hãy tìm một dãy dài nhất bao gồm các số nguyên dương phân biệt mà con số đầu tiên là số 1 và số cuối cùng có dạng $ 31^a.5^b.1990^c$ sao cho mỗi số chia hết cho số dứng trước nó . Có bao nhiêu dãy có độ dài này ?

 

 

 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 20-01-2015 - 21:46

1) Thể lệ
2) Danh sách các bài toán đã qua: 1-100, 101-200, 201-300, 301-400
Còn chờ gì nữa mà không tham gia!  :luoi:
 


#7 PSW

PSW

    Những bài toán trong tuần

  • Thành viên
  • 487 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 20-01-2015 - 21:46

$\boxed{\text{Bài toán 261}}$
Cho $a, b, c, x, y, z \geq 0$ thoả:
$\left\{\begin{array}{l} cy + bz = a \\ az + cx = b \\ bx + ay = c \\ \end{array} \right.$

Tìm min: $P = \dfrac{x^2}{1 + x} + \dfrac{y^2}{1 + y} + \dfrac{z^2}{1 + z}$

$\boxed{\text{Bài toán 262}}$
Cho tứ giác $ABCD$ nội tiếp một đường tròn. Trong đó $AB=5;BC=6;CD=7;DA=8$.
Tính bán kính đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp của tứ giác $ABCD$.
Từ đó tổng quát hóa bài toán trên.

$\boxed{\text{Bài toán 263}}$ @};-
Cho tập S gồm n điểm trên mặt phẳng sao cho không có 8 điểm nào thẳng hàng và có không nhiều hơn 91 khoảng cách khác nhau nối các điểm thuộc S.Chứng minh $n\le 2004$

$\boxed{\text{Bài toán 264}}$
Chứng minh rằng: Trong 99 số sau : $K+1; K+2;K+3;........;K+99$ có ít nhất 66 hợp số(K nguyên)

$\boxed{\text{Bài toán 265}}$
Tìm m để hàm số $y= \sqrt{2x-3m+4} - \dfrac{x-2m}{x+m-1}$ có miền xác định là $D = (0;+ \infty )$

$\boxed{\text{Bài toán 266}}$

Hàm f(x;y) xác định với mọi số tự nhiên x,y thỏa
$\begin{array}{l}
f(0,y) = y + 1;\\
f(x + 1,0) = f(x,1);\\
f(x + 1,y + 1) = f(x,f(x + 1,y))
\end{array}$
Tìm f(4;2004)

$\boxed{\text{Bài toán 267}}$

Cho tam giác ABC có I là tâm đường tròn nội tiếp. Gọi $C_1, B_1$ là trung điểm của AB, AC, $B_2, C_2$ là giao của $IC_1$ với AC, $IB_1$ với AB. Tìm độ lớn của $\widehat{BAC}$ để $S_{\Delta AB_2C_2}=S_{\Delta ABC}$


$\boxed{\text{Bài toán 268}}$
Cho m là số nguyên dương .Xác định dãy $a_0,a_1,a_2,...$ như sau: $a_0=1;a_1=m;a_{m+1}=m^2a_n-a_{n-1}$ với $n=1,2...$. Chứng minh rằng với mọi cặp sắp thứ tự các số tự nhiên $(a,b)$ với $a \leq b$ là nghiệm của phương trình $\frac{a^2+b^2}{ab+1}=m^2$ khi và chỉ khi $(a,b)=(a_n,a_{n+1})$ với n là một số tự nhiên nào đó.

$\boxed{\text{Bài toán 269}}$

Số nguyên dương N đc gọi là số tốt nếu mọi số nguyên dương nhỏ hơn N đều là tổng của các ước dương phân biệt của N.
Chứng minh rằng tích của 2 số tốt là một số tốt.

$\boxed{\text{Bài toán 270}}$

Chuỗi số sau hội tụ khi nào:$$\sum_{n=1}^{+\infty } sin \dfrac{1}{n^p}tan\dfrac{1}{n^q}$$
Điều kiện $p>0, q>0.$


---

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PSW: 07-06-2015 - 16:06

1) Thể lệ
2) Danh sách các bài toán đã qua: 1-100, 101-200, 201-300, 301-400
Còn chờ gì nữa mà không tham gia!  :luoi:
 


#8 PSW

PSW

    Những bài toán trong tuần

  • Thành viên
  • 487 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 23-01-2015 - 21:37

$\boxed{\text{Bài toán 271}}$ Cho $a,b,c$ thỏa mãn $0\leq a\leq b\leq c\leq 1$. Tìm $max$ của
$$P=a^2(b-c)+b^2(c-b)+c^2(1-c)$$

$\boxed{\text{Bài toán 272}}$ @};-
Cho tứ diện $S.ABC$ có $SA=a, SB=b, SC=c$ đôi một vuông góc với nhau. Lấy điểm $M$ nằm trong tam giác $ABC$ Gọi $u, v, w$ lầ lượt là khoảng cách từ $M$ đến $SA, SB, SC$. Chứng minh rằng :
$$u^2+v^2+w^2 \ge \dfrac{2(abc)^2}{a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2}$$.

$\boxed{\text{Bài toán 273}}$ Với mỗi số nguyên dương $n$ gọi $S$ là tập tất cả các đa thức $P(x)$ bậc $n$ sao cho các hệ số của $P(x)$ đều nguyên dương và không vượt quá $n!$. Một đa thức $P(x)$ thuộc S gọi là 'đẹp' nếu với mọi số nguyên dương $k$ tồn tại vô hạn số trong dãy $P(1);P(2);..$ nguyên tố cùng nhau với $k$.
Cmr : Có tối thiểu $71$% đa thức trong $S$ là 'đẹp'.

$\boxed{\text{Bài toán 274}}$
Cho $x,y,z$ là các số nguyên dương và $6xyz+30xy+21xz+2yz+105 x+10y+7z = 812$, tìm $x+y+z$.

$\boxed{\text{Bài toán 275}}$ Giải phương trình: $$\left(\cos 2x-\frac{1}{2}\right)^{2}=\cos \frac{3}{4}x-\frac{3}{4}$$

$\boxed{\text{Bài toán 276}}$ Cho $\Delta ABC$, đường cao $BE$, $CF$ cắt nhau tại $H$. Đường thẳng $EF$ cắt $BC$ tại $G$. Đường thẳng $GH$ cắt đường thẳng qua $A$ song song $BC$ tại $L$. Gọi $M$ là trung điểm của $BC$.Qua $M$ vẽ tiếp tuyến với đường tròn nội tiếp $\Delta ABC$ cắt $AL$ tại $X$. Chứng minh rằng
$$XA=XL \Leftrightarrow \cos \widehat{BAC}=\frac{b+c}{2a+b+c}$$

$\boxed{\text{Bài toán 277}}$
Tìm các số nguyên dương $x,y$ sao cho $x^{3}+y^{2}$ chia hết cho $xy+1$.

$\boxed{\text{Bài toán 278}}$
Cho tam giác $ABC$ cân tại $A$ có $BC=a,AB=AC=b$, biết $\widehat{A}=\dfrac{\pi }{7}$. Chứng minh rằng :
$$a^4-3a^2b^2-ab^3+b^4=0$$

$\boxed{\text{Bài toán 279}}$
Cho tam giác $ABC$, trực tâm $H$. Hai đường thẳng $d$ và $d'$ bất kì qua $H$. $d$ cắt $AB,BC,CA$ tại $C',A',B'$ và $d'$ cắt $AB,BC,CA$ tại $C'',A'',B''$. Gọi tâm của $(HA'A''), (HB'B''),(HC'C'') $ là $ O_{1} , O_{2} , O_{3} $. $HO_{1} , HO_{2} , HO_{3} $ cắt $A'A'',B'B'',C'C''$ tại $M,N,P$. CMR: $M,N,P$ thẳng hàng

$\boxed{\text{Bài toán 280}}$
Cho $p$ là số nguyên tố.
Tính $S= \sum\limits_{k=1}^{ \dfrac{p-1}{2} }[ \dfrac{k^2}{p}]$

với $p \equiv 1\pmod4 $

$[x]$ là số nguyên lớn nhất không vượt quá $x$



---

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PSW: 07-06-2015 - 16:07

1) Thể lệ
2) Danh sách các bài toán đã qua: 1-100, 101-200, 201-300, 301-400
Còn chờ gì nữa mà không tham gia!  :luoi:
 


#9 PSW

PSW

    Những bài toán trong tuần

  • Thành viên
  • 487 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 06-05-2015 - 09:21

$\boxed{\text{Bài toán 281}}$
Giả sử rằng đa thức $ P(x) $ có hệ số nguyên, nhận giá trị bằng 2 ứng với 4 giá trị $x$ thuộc $\mathbb{Z}$. Chứng minh $ P(x) $ không thể nhận các giá trị 1,3,5,7,9 với mọi $x$ thuộc $\mathbb{Z}$

$\boxed{\text{Bài toán 282}}$
Có tồn tại hay không tứ diện với tọa độ các đỉnh là số nguyên ,và diện tích của bốn mặt là số vô tỷ ?

$\boxed{\text{Bài toán 283}}$
Chứng minh rằng mọi số nguyên dương đều có một bội mà chỉ bao gồm các chữ số 0 và 7.

$\boxed{\text{Bài toán 284}}$
Cho hình thang ABCD biết $AD=3BC,AB$ đi qua điểm $M(-12;0), C(2 ; -5),AD$ đi qua $N(-3;5)$. Viết phương trình đường thẳng $AB, AD$ biết diện tích ABCD là $50, AB$ không song song với $Ox,Oy$

$\boxed{\text{Bài toán 285}}$
Cho đường tròn $\left(C\right): x^{2} + y^{2}-6x+2y-15=0$.Tìm tọa độ điểm $M$ thuộc đường thẳng $d: 3x-2y-6=0$ sao cho từ $M$ kẻ tới $\left(C\right)$ hai tiếp tuyến $MA,MB$ ($A,B$ là tiếp điểm) mà $AB$ đi qua điểm $C(0;1)$.

$\boxed{\text{Bài toán 286}}$
Xác định tọa độ các đỉnh của tam giác $ABC$ vuông cân tại $A$. Biết cạnh huyền nằm trên đường thẳng $d: x+7y-31=0$. Điểm $N(7;7)$ thuộc đường thẳng $AC$, điểm $M(2;-3)$ thuộc đường thẳng $AB$ và nằm ngoài đoạn $AB$.

$\boxed{\text{Bài toán 287}}$

Cho $x,y,z$ là các số thực dương thỏa mãn $xy+yz+xz=671$.CMR :
$$\sum \frac{x^2-yz}{x^2-yz+2013}\geq 0$$

$\boxed{\text{Bài toán 288}}$
Chứng minh:
\[\sum_{n = 0}^{\infty} \dfrac{C_{2n}^{n} }{2^{2n}} a^{3n} = \dfrac{1}{\sqrt{1 - a^3}}\]
với 0 < a < 1 và $C_{2n}^{n}$ là tổ hợp chập $n$ của $2n$.

$\boxed{\text{Bài toán 289}}$
1. Đếm số cách chia $n$ cái kẹo (giống nhau) thành $3$ phần không tính đối xứng.
Các cách chia $(a,b,c)$ và $(c,b,a)$ được xem là như nhau. Các phần có thể rỗng

2. Giả sử có 3 mệnh giá tiền là $1$ đồng, $2$ đồng và $4$ đồng. Tính số cách đổi $2n$ đồng ra các loại mệnh giá trên.0


$\boxed{\text{Bài toán 290}}$
Cho tam giác $ABC$. Trên $BC$ lấy các điểm $D, E$ sao cho $\widehat{BAD}=\widehat{CAE}$. Đường tròn nội tiếp các tam giác $ABD$ và $ACE$ tiếp xúc BC tương ứng tại $M$ và $N$. Chứng minh rằng:
$$\dfrac{1}{MB}+\dfrac{1}{MD}=\dfrac{1}{NE}+\dfrac{1}{NC}$$



---

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PSW: 07-06-2015 - 16:08

1) Thể lệ
2) Danh sách các bài toán đã qua: 1-100, 101-200, 201-300, 301-400
Còn chờ gì nữa mà không tham gia!  :luoi:
 


#10 PSW

PSW

    Những bài toán trong tuần

  • Thành viên
  • 487 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 07-06-2015 - 16:10

$\boxed{\text{Bài toán 291}}$ 
Tính các tổng sau:
1) $\sum_{k=1}^{\infty}arc\tan\left ( \frac{2}{k^2} \right )$
 
2) $\sum_{k=1}^{\infty}arc\tan\left ( \frac{1}{k} \right )$
 
$\boxed{\text{Bài toán 292}}$ 
Chứng minh rằng phương trình $$6{y^3} + 12x{y^2} + 6{x^2}y + ({x^3} - x) = 0$$ không thể có nghiệm nguyên dạng $(4k, y)$ hoặc $(9k, y)$, $k\neq 0$
 
$\boxed{\text{Bài toán 293}}$ 
Giải phương trình
$$\sqrt{x^{2}+x+1}-\sqrt{x^{2}-x+1}-4x^{2}+4=\frac{32}{x^{2}(2x^{2}+3)^{2}}$$
 
$\boxed{\text{Bài toán 294}}$ 
Cho $x,y,z$ là các số thực dương. Tìm giá trị lớ nhất của biểu thức:
$$A = \dfrac{xyz}{(1+3x)(x+8y)(y+9z)(z+6)}$$
 
$\boxed{\text{Bài toán 295}}$
Cho $p, q, r$ là các số nguyên tố phân biệt và $$A=\{ p^aq^br^c: 0\leq a,b,c \leq5 \}$$
Tìm giá trị nhỏ nhất của số nguyên $n$ thỏa mọi tập con $n$ phần tử của tập $A$ chứa $2$ phần tử $x,y$ thỏa mãn $x\neq y$ và $y | x$.
 
$\boxed{\text{Bài toán 296}}$
Cho $a,b,c$ dương thỏa mãn $a+b+c=3$. 
Chứng minh rằng: 
$$(a+b^2)(b+c^2)(c+a^2)\leq 13$$
 
$\boxed{\text{Bài toán 297}}$
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng $d,d'$ chéo nhau và vuông góc với nhau. AB là đoạn vuông góc chung của $d,d'$. Điểm $M(2;-2;1)$ thuộc $d$, điểm $N(-2;0;1)$ thuộc $d'$ và $AM+BN=AB$. Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc mặt phẳng $(P):2x+2y+z-3=0$, tiếp xúc với hai đường thẳng $d$ và $d'$ lần lượt tại $M$ và $N,$ biết hình chiếu vuông góc của tâm mặt cầu trên đường thẳng $AB$ là $H(0,1,2)$ 
 
$\boxed{\text{Bài toán 298}}$
Tìm các giá trị $n$ nguyên dương sao cho đa thức $x^n+4$ khả quy trên $Z[x]$.
 
$\boxed{\text{Bài toán 299}}$
Cho đường tròn $(O)$ có đường kính $AB$. Gọi $I,J$ là 2 điểm thuộc $AB$ và đối xứng nhau qua $O$. Điểm $M$ là điểm thuộc $(O)$, khác $A$ và $B$. Giả sử $MI, MJ$ và $MO$ lần lượt cắt $(O)$ tại các giao điểm thức hai (khác $M$) là $P,Q$ và $S$. Hai đường thẳng $PQ$ và $AB$ cắt nhau tại $R$. Chứng minh rằng $RS$ là tiếp tuyến của $(O)$.

 

$\boxed{\text{Bài toán 300}}$

Có hai hộp mỗi hộp đều chứa các viên bi đỏ và xanh, tổng số bi của cả 2 hộp bằng 25, từ mỗi hộp lấy ra 1 viên bi, biết xắc suất để được hai viên đều đỏ là 0,54. Tìm xác suất để được bến cố cả 2 viên màu xanh. 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PSW: 23-07-2015 - 17:51

1) Thể lệ
2) Danh sách các bài toán đã qua: 1-100, 101-200, 201-300, 301-400
Còn chờ gì nữa mà không tham gia!  :luoi:
 





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh