Chủ đề này có 1 trả lời

[nucnt772]

Tìm k để phương trình sau có 3 nghiệm phân biệt:

$4^{-|x-k|}log_{\sqrt{2}}(x^{2}-2x+3)+2^{-x^{2}+2x}log_{\frac{1}{2}}(2|x-k|+2)=0$.

[chanhquocnghiem]

Tìm k để phương trình sau có 3 nghiệm phân biệt:

$4^{-|x-k|}log_{\sqrt{2}}(x^{2}-2x+3)+2^{-x^{2}+2x}log_{\frac{1}{2}}(2|x-k|+2)=0$.

$4^{-\left | x-k \right |}\log_{\sqrt{2}}(x^2-2x+3)+2^{-x^2+2x}\log_{\frac{1}{2}}(2\left | x-k \right |+2)=0$

$\Leftrightarrow 2^{-2\left | x-k \right |+1}\log_2(x^2-2x+3)=2^{-x^2+2x}\log_2(2\left | x-k \right |+2)$

$\Leftrightarrow \frac{\log_2(x^2-2x+3)}{\log_2(2\left | x-k \right |+2)}=\frac{2^{2\left | x-k \right |-1}}{2^{x^2-2x}}=\frac{2^{2\left | x-k \right |+2}}{2^{x^2-2x+3}}$ (1)

+ Nếu $x^2-2x+3> 2\left | x-k \right |+2$ thì (1) vô nghiệm vì vế trái lớn hơn $1$, còn vế phải nhỏ hơn $1$

+ Nếu $x^2-2x+3< 2\left | x-k \right |+2$ thì (1) vô nghiệm vì vế trái nhỏ hơn $1$, còn vế phải lớn hơn $1$

+ Vậy (1) $\Leftrightarrow 2\left | x-k \right |=x^2-2x+1$ (2)

Xét 2 trường hợp :

$1)\ x\geqslant k$

   Khi đó (2) $\Leftrightarrow x^2-4x+2k+1=0$ (3)

   (3) chỉ có nghiệm khi $k\leqslant \frac{3}{2}$ :

   + Với $k=\frac{3}{2}\Rightarrow x=2$ (thỏa mãn vì $x> k$)

   + Với $k< \frac{3}{2}\Rightarrow x=2\pm \sqrt{3-2k}$ (thỏa mãn vì dễ dàng chứng minh $x\geqslant k$)

$2)\ x< k$

   Khi đó (2) $\Leftrightarrow x^2-2k+1=0$ (4)

   (4) chỉ có nghiệm khi $k\geqslant \frac{1}{2}$ :

   + Với $k=\frac{1}{2}\Rightarrow x=0$ (thỏa mãn vì $x< k$)

   + Với $k> \frac{1}{2}$ và $k\neq 1\Rightarrow x=\pm \sqrt{2k-1}$ (thỏa mãn vì dễ dàng chứng minh $x< k$)

   + Với $k=1\Rightarrow x=-1$ (thỏa mãn vì $x< k$, loại nghiệm $x=1$)

 

Kết hợp cả 2 trường hợp trên, ta thấy :

+ Nếu $k\in \left ( -\infty;\frac{1}{2} \right )$ thì có $2$ nghiệm là $x=2\pm \sqrt{3-2k}$

+ Nếu $k\in \left ( \frac{1}{2};\frac{3}{2} \right )$ và $k\neq 1$ thì có $4$ nghiệm là $x=2\pm \sqrt{3-2k}$ ; $x=\pm \sqrt{2k-1}$

+ Nếu $k\in \left ( \frac{3}{2};+\infty \right )$ thì có $2$ nghiệm là $x=\pm \sqrt{2k-1}$

+ Nếu $k=\frac{1}{2}$ thì có $3$ nghiệm là $x=2\pm \sqrt{2}$ và $x=0$

+ Nếu $k=1$ thì có $3$ nghiệm là $x=3$ ; $x=1$ và $x=-1$

+ Nếu $k=\frac{3}{2}$ thì có $3$ nghiệm là $x=2$ và $x=\pm \sqrt{2}$

 

Vậy với $k=\frac{1}{2}$ ; $k=1$ ; $k=\frac{3}{2}$ thì phương trình đã cho có đúng $3$ nghiệm phân biệt như đã nêu rõ ở trên.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 15-07-2016 - 06:02