Cho $(O,R)$ và dây $AB=\sqrt{3}R$. Điểm $M$ di chuyển trên cung lớn $AB$. Gọi $I$ là tâm đường tròn nội tiếp $\Delta AMB$. Đường tròn nội tiếp $\Delta AMB$ tiếp xúc với $MA$ và $MB$ lần lượt tại E và F. Chứng minh $EF$ luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định khi $M$ di chuyển trên cung lớn $AB$.
Chứng minh $EF$ luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định khi $M$ di chuyển trên cung lớn $AB$.
#1
Đã gửi 18-04-2014 - 13:13
#2
Đã gửi 17-02-2016 - 10:03
Cho $(O,R)$ và dây $AB=\sqrt{3}R$. Điểm $M$ di chuyển trên cung lớn $AB$. Gọi $I$ là tâm đường tròn nội tiếp $\Delta AMB$. Đường tròn nội tiếp $\Delta AMB$ tiếp xúc với $MA$ và $MB$ lần lượt tại E và F. Chứng minh $EF$ luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định khi $M$ di chuyển trên cung lớn $AB$.
Gọi $N$ là trung điểm của $AB$.
$\Delta ONA$ vuông tại $N$, có $OA=R$ ; $NA=\frac{\sqrt{3}}{2}\ R\Rightarrow \sin AON=\frac{NA}{OA}=\frac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow \widehat{AON}=60^o\Rightarrow \widehat{AOB}=120^o\Rightarrow \widehat{AMB}=60^o$
$\Delta EMF$ là tam giác đều (vì $ME=MF$ và $\widehat{EMF}=\widehat{AMB}=60^o$) $\Rightarrow \widehat{EMI}=\widehat{IMF}=30^o$ và $MI$ _|_ $EF$
Qua $A,N,B$ kẻ các đường thẳng $AP,NK,BQ$ cùng vuông góc với $EF$ ($P,K,Q\in EF$)
$d(N,EF)=NK=\frac{AP+BQ}{2}=\frac{AE\cos PAE+BF\cos FBQ}{2}=\frac{AE\cos EMI+BF\cos IMF}{2}=\frac{(AE+BF)\cos 30^o}{2}=\frac{AB.\sqrt{3}}{4}=\frac{3}{4}\ R$
$d(N,EF)=\frac{3}{4}\ R$ (là khoảng cách không đổi) $\Rightarrow EF$ luôn tiếp xúc với đường tròn cố định tâm $N$ (trung điểm $AB$), có bán kính bằng $\frac{3}{4}\ R$ khi $M$ di chuyển trên cung lớn $AB$.
- foollock holmes, Minhnguyenthe333 và royal1534 thích
...
Ðêm nay tiễn đưa
Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...
2 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh