Chủ đề này có 5 trả lời

[E. Galois]

Vào hồi 20h, Thứ Sáu, ngày 25/4/2014, Tổ trọng tài sẽ ra đề vào topic này, sau khi có đề, các toán thủ bắt đầu thi đấu.
 

 

I- Bạn cần biết:

1) Điều lệ giải đấu

2) Lịch thi đấu và tổng hợp kết quả

 

 

II - Lưu ý

1) Các toán thủ khi thi đấu, cứ yên tâm rằng, sau khi trả lời là bài làm đã được lưu, BTC đã nhận được bài làm của bạn, có điều bạn không nhìn thấy được mà thôi. Bạn nên mừng vì điều này, như thế các toán thủ khác không thể copy bài của bạn được.

Bạn cũng nên sử dụng chức năng xem trước của diễn đàn để sửa các lỗi LATEX trước khi gửi bài, vì gửi rồi sẽ không xem và sửa lại được nữa.

 

 

Để sử dụng chức năng xem trước, bạn click vào Sử dụng bộ soạn thảo đầy đủ và chọn Xem trước.

 

2) Các toán thủ chớ quên rằng mỗi một mở rộng đúng sẽ được 10 điểm, các bạn nên mở rộng bài toán để thu được nhiều điểm hơn

 

3) Thành viên diễn đàn không đăng kí thi đấu vẫn có thể giải bài, nhưng phải ghi rõ là: Mình không phải là toán thủ thi đấu

 

4) Sau trận này, 02 toán thủ đứng cuối cùng của bảng xếp hạng sẽ bị loại khỏi giải đấu.

[E. Galois]

Tính tích phân  $I=\int_{0}^{\pi}\frac{xsinx}{9+4\cos^2x}dx$

Toán thủ ra đề: TonnyMon97

[vipkutepro]

Giải: 

* Đặt $x=\pi -t\Rightarrow dx=-dt$

Đổi cận: $x=0\Rightarrow t=\pi ;x=\pi \Rightarrow t=0$

Ta có: $I=\int_{\pi }^{0}\frac{\left ( \pi -t \right )sin\left ( \pi -t \right )}{9+4cos^{2}\left ( \pi -t \right )}(-dt)=\int_{0}^{\pi }\frac{\left ( \pi -t \right )sin\left (t \right )}{9+4cos^{2}(t)}dt$

          $=\pi \int_{0}^{\pi }\frac{sint}{9+4cos^{2}t}dt-\int_{0}^{\pi }\frac{tsin(t)}{9+4cos^{2}(t)}dt=-\pi\int_{0}^{\pi }\frac{d(cos(t))}{9+4cos^{2}(t)}-I$

$\Rightarrow I=\frac{-\pi }{2} \int_{0}^{\pi }\frac{d(cos(t))}{9+4cos^2(t)}$

* Đặt $2cos(t)=3tan(u);u\in \left ( -\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2} \right )$

$\Rightarrow d(cos(t))=\frac{3}{2cos^2(u)}du=\frac{3}{2}(1+tan^2(u))du$

Đổi cận: $t=0\Rightarrow u=arctan\left ( \frac{2}{3} \right );t=\pi \Rightarrow u=arctan\left ( -\frac{2}{3} \right )$

Ta có: $I=- \frac{\pi }{2}\int_{arctan\left (\frac{2}{3} \right )}^{arctan\left ( -\frac{2}{3} \right )}\left ( \frac{3(1+tan^2(u))du}{2(9+9tan^2(u))} \right )=-\frac{\pi }{12}\int_{arctan\left (\frac{2}{3} \right )}^{arctan\left ( -\frac{2}{3} \right )}\left ( du \right )$

           $=-\frac{\pi }{12}u\mid \begin{matrix} arctan\left ( -\frac{2}{3} \right ) & \\ arctan\left ( \frac{2}{3} \right ) & \end{matrix}$

           $=-\frac{\pi }{12}\left ( arctan\left ( -\frac{2}{3} \right )-arctan\left ( \frac{2}{3} \right ) \right )$

Vậy: $I=-\frac{\pi }{12}\left ( arctan\left ( -\frac{2}{3} \right )-arctan\left ( \frac{2}{3} \right ) \right )$

 

 

$\boxed{Điểm: 10}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi CD13: 21-05-2014 - 20:12

[19kvh97]

Tính tích phân  $I=\int_{0}^{\pi}\frac{xsinx}{9+4\cos^2x}dx$

Toán thủ ra đề: TonnyMon97

$I=\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}\frac{x\sin x .dx}{9+4\cos^2 x}+\int_{\frac{\pi }{2}}^{\pi }\frac{x\sin x .dx}{9+4\cos^2 x}$

Xét $J=\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}\frac{x\sin x .dx}{9+4\cos^2 x}$

đặt $x=\pi-t$

   $x=0$ suy ra $t=\pi$

    $x=\frac{\pi }{2}$ suy ra $t=\frac{\pi }{2}$

$dx=-dt$

do đó $J=-\int_{\pi}^{\frac{\pi}{2}}\frac{(\pi-t)\sin (\pi-t).dt}{9+4\cos^2 (\pi -t)}=-\int_{\frac{\pi}{2}}^{ \pi }\frac{x\sin x .dx}{9+4\cos^2 x}+\int_{\frac{\pi}{2}}^{ \pi}\frac{\pi\sin t .dt}{9+4\cos^2 x}$

suy ra $I=\pi\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi}\frac{\sin x.dx}{9+4\cos^2 x}=-\pi\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi}\frac{d(\cos x)}{9+4\cos^2 x}$

Đặt $\cos x=\frac{3}{2}\tan a$    ($a$$\epsilon$ $(\arctan\frac{-2}{3};\arctan\frac{-2}{3})$)

  $x=\frac{\pi}{2}$ suy ra $a=0$

  $x=\pi$ suy ra $a=\arctan\frac{-2}{3}$

$d(\cos x)=\frac{3.da}{2\cos^2 a}$

suy ra 

$I=-\pi\int_{0}^{\arctan\frac{-2}{3}}\frac{\frac{3da}{2\cos^2a}}{9\tan^2a+9}=\frac{-\pi.\arctan\frac{-2}{3}}{6}$

Vậy $I=\frac{-\pi.\arctan\frac{-2}{3}}{6}$

 

 

$\boxed{Điểm:10}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi CD13: 21-05-2014 - 20:13

[motdaica]

Bài làm của toán thủ MHS012:

Đặt $t=\pi -x$ => dx =-dt

Đổi cận : x=0 => $t=\pi$ ; $x=\pi$ =>t=0

=> $I=\int_{\pi}^{0}\frac{(\pi-t)sin(\pi-t)}{9+4cos^{2}(\pi-t)}(-dt)$

=> $I= \int_{0}^{\pi}\frac{(\pi-t)sint}{9+4cos^{2}t}dt$ = $-\int_{0}^{\pi}\frac{tsint}{9+4cos^{2}t}dt +\pi\int_{0}^{\pi}\frac{sint}{9+4cos^{2}t}dt$

=> $I=-\int_{0}^{\pi}\frac{xsinx}{9+4cos^{2}x}dx + \pi\int_{0}^{\pi}\frac{sinx}{9+4cos^{2}x}dx$

=> $2I=\pi\int_{0}^{\pi}\frac{sinx}{9+4cos^{2}x}dx$

Ta tính $J=\int_{0}^{\pi}\frac{sinx}{9+4cos^{2}x}dx$

Đặt $cosx=u$ => $du=-sinxdx$

Đổi cận x=0 =>u=1; $x=\pi$ =>u=-1

=> $J=\int_{1}^{-1}\frac{-1}{9+4u^{2}}du =\int_{-1}^{1}\frac{1}{9+4u^{2}}du$

Đặt $u=\frac{3}{2}tanv$ => $du=\frac{3}{2cos^{2}v}dv$

Đổi cận u=-1 => $v=\arctan\frac{-2}{3}$ ;u=1 => $v=\arctan \frac{2}{3}$

Từ đó $J= \int_{\arctan \frac{-2}{3}}^{\arctan \frac{2}{3}}\frac{3}{2cos^{2}v(9+9tan^{2}v)}dv$

=> $J= \int_{\arctan \frac{-2}{3}}^{\arctan \frac{2}{3}}\frac{1}{6}dv = \frac{1}{6}v |\begin{matrix} \arctan \frac{2}{3}\\ \arctan \frac{-2}{3} \end{matrix}$

$I=\frac{\pi J}{2}= \frac{\pi}{6}\arctan \frac{2}{3}$

Vậy $I= \frac{\pi}{6}\arctan \frac{2}{3}$

 

 

$\boxed{Điểm:10}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi CD13: 21-05-2014 - 20:14

[CD13]

Bài này hơi khó nên không được nhiều các em tham gia giải, có gì thắc mắc về điểm các em có thể hỏi tại đây.