Chủ đề này có 3 trả lời

[Kir]

Giải bất phương trình:

$25x^{4}+5x^{2}+9x(x^{2}+1)\sqrt{9x^{2}-4}-2\geq 0$

[chanhquocnghiem]

Giải bất phương trình:

$25x^{4}+5x^{2}+9x(x^{2}+1)\sqrt{9x^{2}-4}-2\geq 0$

Đặt $f(x)=25x^4+5x^2+9x(x^2+1)\sqrt{9x^2-4}-2$. 

Tập xác định của $f(x)$ là : $\left ( -\infty;-\frac{2}{3} \right ]\cup \left [ \frac{2}{3};+\infty \right )$

$f(x)$ là hàm sơ cấp nên nó liên tục trên các khoảng xác định, tức là trên $\left ( -\infty;-\frac{2}{3} \right )$ và $\left ( \frac{2}{3};+\infty \right )$

 

Trước hết ta tìm nghiệm của phương trình $25x^4+5x^2+9x(x^2+1)\sqrt{9x^2-4}-2=0$ (*)

(*) $\Rightarrow 25x^4+5x^2-2=-9x(x^2+1)\sqrt{9x^2-4}$ (**)

Xét 2 trường hợp :

$1)$ $x\in \left [ \frac{2}{3};+\infty \right )$

    Khi đó vế trái của (**) dương, còn vế phải không dương nên vô nghiệm.

$2)$ $x\in \left ( -\infty;-\frac{2}{3} \right ]$

    (**) $\Rightarrow 26x^8+221x^6+39x^4-76x^2-1=0$

    Đặt $y=x^2$ ($y\geqslant 0$), ta có $26y^4+221y^3+39y^2-76y-1=0$

    $\Rightarrow (2y-1)(13y^3+117y^2+78y+1)=0$

    $\Rightarrow 13y^3+117y^2+78y+1=0$ (vô nghiệm vì $y\geqslant 0$)

    hoặc $2y-1=0\Rightarrow y=\frac{1}{2}\Rightarrow x=-\frac{\sqrt{2}}{2}$

Vậy $x=-\frac{\sqrt{2}}{2}$ là nghiệm duy nhất của (*)

 

Để giải bất phương trình đã cho ta cần xét $3$ khoảng : $\left ( -\infty;-\frac{\sqrt{2}}{2} \right ),\left ( -\frac{\sqrt{2}}{2};-\frac{2}{3} \right ],\left [ \frac{2}{3};+\infty \right )$

Dễ thấy khi $x\in \left ( -\infty;-\frac{\sqrt{2}}{2} \right )$ thì vế trái của BPT âm ; còn khi $x\in \left [ -\frac{\sqrt{2}}{2};-\frac{2}{3} \right ]\cup \left [ \frac{2}{3};+\infty \right )$ thì vế trái của BPT không âm.

Vậy tập nghiệm của BPT đã cho là $\left [ -\frac{\sqrt{2}}{2};-\frac{2}{3} \right ]\cup \left [ \frac{2}{3};+\infty \right )$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 28-05-2016 - 08:57

[caybutbixanh]

Giải bất phương trình:

$25x^{4}+5x^{2}+9x(x^{2}+1)\sqrt{9x^{2}-4}-2\geq 0$

Lời giải :

Điều kiện:  $\left  (-\infty;\frac{-2}{3} \right ] \cup \left [\frac{2}{3};+\infty \right)$

Bằng phương pháp ép tích, ta có :

$PT \Leftrightarrow (\sqrt{9x^2-4}+x).(7x^3+\frac{17}{2}x+(2x^2+\frac{1}{2}).\sqrt{9x^2-4}) \geq 0 (1)$

Xét $x \in \left [\frac{2}{3};+\infty \right)$ (1) luôn thỏa mãn.

Xét $x \in \left  (-\infty;\frac{-2}{3} \right ],(*)$ khi đó (1) sẽ có 2 khả năng :

KN1:$\begin {cases}\sqrt{9x^2-4}+x \leq 0 (2)\\7x^3+\frac{17}{2}x+(2x^2+\frac{1}{2}).\sqrt{9x^2-4} \leq 0 (3)\end{cases}$

$(2) \Leftrightarrow \sqrt{9x^2-4} \leq -x \\$

$\Leftrightarrow 9x^2-4 \leq x^2 (x \leq \frac{-2}{3} \Rightarrow -x>0)\\$

$\Leftrightarrow \frac{-1}{\sqrt{2}} \leq x \leq \frac{-2}{3} $ (Kết hợp (*))

$(3) \Leftrightarrow (2x^2+\frac{1}{2}).\sqrt{9x^2-4} \leq -(7x^3+\frac{17}{2}x) \\$

$\Leftrightarrow -(52x^6+486x^4+312x^2+4) \leq 0 $ (Đúng)

KN2:$\begin {cases}\sqrt{9x^2-4}+x \geq 0 (2)\\7x^3+\frac{17}{2}x+(2x^2+\frac{1}{2}).\sqrt{9x^2-4} \geq 0 (3)\end{cases}$

Ta có : $(3) \Leftrightarrow -(52x^6+486x^4+312x^2+4) \geq 0 $( Vô lí )

Vậy :

$$S=\left[-\frac{1}{\sqrt{2}} ;-\frac{2}{3} \right] \cup \left[\frac{2}{3};+\infty \right)$$

[minhquanym]

Bài này có thể giải theo cách THCS được không ạ ? Em đọc không hiểu