Đến nội dung

Hình ảnh

a+b+c=1, tìm min $\frac{2ab}{c+ab}+\frac{3bc}{a+bc}+\frac{2ca}{b+ca}\ge \frac{5}{3}$

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 8 trả lời

#1
phathuy

phathuy

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 169 Bài viết

Mình có mấy bài BĐT nghĩ mãi không ra. Các bạn giúp mình nhé!

Bài 1: Cho\[\frac{{{x}^{2}}}{8}+\frac{{{y}^{2}}}{2}=1\]. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \[A={{\left( x-4 \right)}^{2}}+{{\left( x-5 \right)}^{2}}\].

Bài 2: Cho \[\frac{{{x}^{2}}}{9}+\frac{{{y}^{2}}}{4}=1\]. Tìm giá trị nhỏ nhất của \[A=\left| 3x+4y+24 \right|\].

Thực ra, mình muốn hỏi bài này cơ: “ Cho \[\left( E \right):\frac{{{x}^{2}}}{9}+\frac{{{y}^{2}}}{4}=1\] và đường thẳng \[\Delta :3x+4y+24=0\] không cắt (E). Tìm M trên (E) sao cho khoảng cách từ M đến \[\Delta \] là ngắn nhất.

Bài toán 3. Cho các số thực thỏa mãn đồng thời $a+b+c=1,ab+bc+ca>0$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=\frac{2}{\left| a-b \right|}+\frac{2}{\left| b-c \right|}+\frac{2}{\left| c-a \right|}+\frac{5}{\sqrt{ab+bc+ca}}$

Bài toán 4. Cho các số dương a, b, c có tổng bẳng 1. Chứng minh rằng $\frac{2ab}{c+ab}+\frac{3bc}{a+bc}+\frac{2ca}{b+ca}\ge \frac{5}{3}$

Bài toán 5. Cho các số dương a, b, c có tổng bẳng 1. Chứng minh rằng $\frac{a\left( b+c \right)}{4-9bc}+\frac{b\left( c+a \right)}{4-9ca}+\frac{c\left( a+b \right)}{4-9ab}\ge 6abc$

Bài toán 6. Cho các số dương a, b, c có tích bẳng 1. Chứng minh rằng $\frac{1}{\sqrt{{{a}^{5}}-{{a}^{2}}+3ab+6}}+\frac{1}{\sqrt{{{b}^{5}}-{{a}^{2}}+3bc+6}}+\frac{1}{\sqrt{{{c}^{5}}-{{c}^{2}}+3ca+6}}\le 1$

Bài toán 7. Chứng minh rằng $\frac{{{a}^{3}}}{{{b}^{2}}-bc+{{c}^{2}}}+\frac{{{b}^{3}}}{{{c}^{2}}-ca+{{a}^{2}}}+\frac{{{c}^{3}}}{{{a}^{2}}-ab+{{b}^{2}}}\ge \frac{3\left( ab+bc+ca \right)}{a+b+c}$  với mọi số thực dương a, b, c.

Bài toán 8. Chứng minh rằng $\frac{a+b}{b+c}.\frac{a}{2a+b+c}+\frac{b+c}{c+a}.\frac{b}{a+2b+c}+\frac{c+a}{a+b}.\frac{c}{a+b+2c}\ge \frac{3}{4}$   với mọi số thực dương a, b, c.

Bài toán 9. Chứng minh rằng $\frac{1+{{x}^{2}}}{1+y+{{z}^{2}}}+\frac{1+{{y}^{2}}}{1+z+{{x}^{2}}}+\frac{1+{{z}^{2}}}{1+x+{{y}^{2}}}\le 2$   với mọi số thực x, y, z thỏa $x,y,z>1$.

Bài toán 10. Cho các số dương x, y, z có tích bẳng 1. Chứng minh rằng $\frac{1}{1+x+{{x}^{2}}}+\frac{1}{1+y+{{y}^{2}}}+\frac{1}{1+z+{{z}^{2}}}\ge 1$

Bài toán 11. Cho các số dương x, y, z có tích bẳng 8. Chứng minh rằng $\frac{{{x}^{2}}}{{{x}^{2}}+2x+4}+\frac{{{y}^{2}}}{{{y}^{2}}+2y+4}+\frac{{{z}^{2}}}{{{z}^{2}}+2z+4}\ge 1$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phathuy: 14-05-2014 - 10:13

Mục đích của cuộc sống là sống có mục đích :biggrin:


#2
Tran Nguyen Lan 1107

Tran Nguyen Lan 1107

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 123 Bài viết

Mình có mấy bài BĐT nghĩ mãi không ra. Các bạn giúp mình nhé!

 

Bài toán 10. Cho các số dương x, y, z có tích bẳng 1. Chứng minh rằng $\frac{1}{1+x+{{x}^{2}}}+\frac{1}{1+y+{{y}^{2}}}+\frac{1}{1+z+{{z}^{2}}}\ge 1$

 

Ta có BĐT <=>A= $\sum \frac{\frac{1}{x^{2}}}{\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{x}+1}\geq 1$

                  <=>A= $\sum \frac{y^{2}z^{2}}{y^{2}z^{2}+yz+1}\geq 1$

The bdt Svacxơ ta có

$A\geq \frac{(xy+yz+zx)^{2}}{\sum x^{2}y^{2}+\sum xy+3}$ 

    =$\frac{\sum x^{2}y^{2}+2\sum xy}{\sum x^{2}y^{2}+\sum xy+3}$

    $\geq \frac{\sum x^{2}y^{2}+\sum xy+3\sqrt[3]{(xyz)^{2}}}{\sum x^{2}y^{2}+\sum xy+3}=1$

Dấu bẵng <=> x=y=z=1



#3
DarkBlood

DarkBlood

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 619 Bài viết

Bài toán 4. Cho các số dương a, b, c có tổng bẳng 1. Chứng minh rằng $\frac{2ab}{c+ab}+\frac{3bc}{a+bc}+\frac{2ca}{b+ca}\ge \frac{5}{3}$

Ta có:

$\frac{2ab}{c+ab}+\frac{3bc}{a+bc}+\frac{2ca}{b+ca}=\frac{2ab}{(c+a)(c+b)}+\frac{3bc}{(a+b)(a+c)}+\frac{2ca}{(b+c)(b+a)}=\dfrac{2ab(a+b)+3bc(b+c)+2ca(c+a)}{(a+b)(b+c)(c+a)}$

Do đó cần chứng minh

$6ab(a+b)+9bc(b+c)+6ca(c+a)\geq 5(a+b)(b+c)(c+a)$

$\Leftrightarrow 6ab(1-c)+9bc(1-a)+6ca(1-b)\geq 5(a+b+c)(ab+bc+ca)-5abc$

$\Leftrightarrow 6ab+9bc+6ca\geq 5(ab+bc+ca)+16abc$

$\Leftrightarrow ab+4bc+ca\geq 16abc$

$\Leftrightarrow \dfrac{1}{c}+\dfrac{4}{a}+\dfrac{1}{b}\geq 16$ $($Đúng theo BCS$)$

Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow$ $a=\dfrac{1}{2}\ ;\ b=c=\dfrac{1}{4}$

 

 

Bài toán 11. Cho các số dương x, y, z có tích bẳng 8. Chứng minh rằng $\frac{{{x}^{2}}}{{{x}^{2}}+2x+4}+\frac{{{y}^{2}}}{{{y}^{2}}+2y+4}+\frac{{{z}^{2}}}{{{z}^{2}}+2z+4}\ge 1$

Đặt $x=\dfrac{2}{a}, y=\dfrac{2}{b}, z=\dfrac{2}{c}$ ta được bài toán 10.



#4
DarkBlood

DarkBlood

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 619 Bài viết
 

Bài toán 5. Cho các số dương a, b, c có tổng bẳng 1. Chứng minh rằng $\frac{a\left( b+c \right)}{4-9bc}+\frac{b\left( c+a \right)}{4-9ca}+\frac{c\left( a+b \right)}{4-9ab}\ge 6abc$

Ta có $\sum \dfrac{a(b+c)}{4-9bc}\geq 6abc \Leftrightarrow \sum \dfrac{b+c}{bc(4-9bc)}\geq 6$

Áp dụng bất đẳng thức $AM-GM$ cho $6$ số, ta có

$\sum \dfrac{b+c}{bc(4-9bc)}=\sum \left( \dfrac{1}{c(4-9bc)}+\dfrac{1}{b(4-9bc)} \right)\geq 6\sqrt[6]{\dfrac{1}{\left [ abc(4-9ab)(4-9bc)(4-9ca) \right ]^2}}$

Như vậy cần chứng minh $abc(4-9ab)(4-9bc)(4-9ca)\leq 1\Leftrightarrow 81abc(4-9ab)(4-9bc)(4-9ca)\leq 81$

Thật vậy, ta có

$81abc(4-9ab)(4-9bc)(4-9ca)\leq \left ( \dfrac{81abc+12-9ab-9bc-9ca}{4} \right )^4$

Mà $\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\geq 9 \Leftrightarrow ab+bc+ca\geq 9abc \Leftrightarrow 81abc-9ab-9bc-9ca\leq 0$

Nên $81abc(4-9ab)(4-9bc)(4-9ca)\leq \left ( \dfrac{12}{4} \right )^4=81$

Vậy ra có điều phải chứng minh.

Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c=\dfrac{1}{3}$



#5
phathuy

phathuy

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 169 Bài viết

 

 

Ta có $\sum \dfrac{a(b+c)}{4-9bc}\geq 6abc \Leftrightarrow \sum \dfrac{b+c}{bc(4-9bc)}\geq 6$

Áp dụng bất đẳng thức $AM-GM$ cho $6$ số, ta có

$\sum \dfrac{b+c}{bc(4-9bc)}=\sum \left( \dfrac{1}{c(4-9bc)}+\dfrac{1}{b(4-9bc)} \right)\geq 6\sqrt[6]{\dfrac{1}{\left [ abc(4-9ab)(4-9bc)(4-9ca) \right ]^2}}$

Như vậy cần chứng minh $abc(4-9ab)(4-9bc)(4-9ca)\leq 1\Leftrightarrow 81abc(4-9ab)(4-9bc)(4-9ca)\leq 81$

Thật vậy, ta có

$81abc(4-9ab)(4-9bc)(4-9ca)\leq \left ( \dfrac{81abc+12-9ab-9bc-9ca}{4} \right )^4$

Mà $\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\geq 9 \Leftrightarrow ab+bc+ca\geq 9abc \Leftrightarrow 81abc-9ab-9bc-9ca\leq 0$

Nên $81abc(4-9ab)(4-9bc)(4-9ca)\leq \left ( \dfrac{12}{4} \right )^4=81$

Vậy ra có điều phải chứng minh.

Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c=\dfrac{1}{3}$

 

Bạn nên chứng minh $4-9bc>0$ đã rồi hẵng áp dụng bất đẳng thức AM – GM. Ta có $4bc\le {{\left( b+c \right)}^{2}}={{\left( 1-c \right)}^{2}}<1\Rightarrow bc<\frac{1}{4}\Rightarrow 4-9bc>0$


Mục đích của cuộc sống là sống có mục đích :biggrin:


#6
phathuy

phathuy

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 169 Bài viết

 

Bài toán 8. Chứng minh rằng $\frac{a+b}{b+c}.\frac{a}{2a+b+c}+\frac{b+c}{c+a}.\frac{b}{a+2b+c}+\frac{c+a}{a+b}.\frac{c}{a+b+2c}\ge \frac{3}{4}$   với mọi số thực dương a, b, c.

 

Trong lúc nhờ các bạn giải mình cũng cố gắng tự suy nghĩ thêm chút xíu nữa, cuối cùng cũng ra được một bài

Bất đẳng thức đề bài tương đương

$\frac{a+b}{b+c}.\frac{2a}{2a+b+c}+\frac{b+c}{c+a}.\frac{2b}{a+2b+c}+\frac{c+a}{a+b}.\frac{2c}{a+b+2c}\ge \frac{3}{2}$

Ta sử dụng kỹ thuật Cauchy ngược dấu

$\frac{a+b}{b+c}\frac{2a}{2a+b+c}-\frac{a+b}{b+c}=\frac{a+b}{b+c}\left( \frac{2a}{2a+b+c}-1\right )=\frac{a+b}{b+c}\frac{-b-c}{2a+b+c}=\frac{-a-b}{2a+b+c} \Rightarrow \frac{a+b}{b+c}\frac{2a}{2a+b+c}=\frac{a+b}{b+c}-\frac{a+b}{2a+b+c}$

Chứng minh tương tự

 $\frac{b+c}{c+a}.\frac{2b}{a+2b+c}=\frac{b+c}{c+a}-\frac{b+c}{a+2b+c}$

$\frac{c+a}{a+b}.\frac{2c}{a+b+2c}=\frac{c+a}{a+b}-\frac{c+a}{a+b+2c}$

Áp dụng bất đẳng thức AM - GM

\[\frac{a+b}{2a+b+c}=\frac{a+b}{\left( a+b \right)+\left( a+c \right)}\le \frac{a+b}{2\sqrt{\left( a+b \right)\left( a+c \right)}}=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{a+b}{a+c}}\]

Chứng minh tương tự

 $\begin{align} & \frac{b+c}{a+2b+c}\le \frac{1}{2}\sqrt{\frac{b+c}{b+a}} \\ & \frac{c+a}{a+b+2c}\le \frac{1}{2}\sqrt{\frac{c+a}{c+b}} \\ \end{align}$

Như vậy ta cần chứng minh

                    \[\frac{b+c}{c+a}+\frac{c+a}{a+b}+\frac{a+b}{b+c}-\frac{1}{2}\left( \sqrt{\frac{a+b}{a+c}}+\sqrt{\frac{b+c}{b+a}}+\sqrt{\frac{c+a}{c+b}} \right)\ge \frac{3}{2}\]

Đặt

             \[x=\sqrt{\frac{a+c}{a+b}},y=\sqrt{\frac{b+a}{b+c}},z=\sqrt{\frac{c+b}{c+a}}\]

Bất đẳng thức trở thành

        \[{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-\frac{1}{2}\left( xy+yz+zx \right)\ge \frac{3}{2}\]

Ta có

\[{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-\frac{1}{2}\left( xy+yz+zx \right)\ge {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-\frac{1}{2}\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}} \right)=\frac{1}{2}\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}} \right)\ge \frac{3}{2}\sqrt[3]{{{x}^{2}}{{y}^{2}}{{z}^{2}}}=\frac{3}{2}\]

Ta có đpcm  :icon6:


Mục đích của cuộc sống là sống có mục đích :biggrin:


#7
phathuy

phathuy

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 169 Bài viết

 

Bài toán 7. Chứng minh rằng $\frac{{{a}^{3}}}{{{b}^{2}}-bc+{{c}^{2}}}+\frac{{{b}^{3}}}{{{c}^{2}}-ca+{{a}^{2}}}+\frac{{{c}^{3}}}{{{a}^{2}}-ab+{{b}^{2}}}\ge \frac{3\left( ab+bc+ca \right)}{a+b+c}$  với mọi số thực dương a, b, c.

 

Gặp bài này mình nhớ tới bài viết Bất đẳng thức "nhỏ" và công hiệu "to" đăng trên Toán học và tuổi trẻ số 440 trang 15. Thế nhưng nếu sử dụng kiến thức đó cho bài này thì phải tìm tới 3 tham số :ohmy:  - một việc rất khó khăn. Nhưng mình vẫn linh cảm phương pháp này đúng. Các bạn thử xem sao. :icon6:


Mục đích của cuộc sống là sống có mục đích :biggrin:


#8
phathuy

phathuy

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 169 Bài viết

Thật may mắn. Hôm qua tình cờ đọc được bài Turkey National Olympiad Second Round 2008 tại đây . Mình xin giải bài toán 7.

Vì $3\left( ab+bc+ca \right)\le {{\left( a+b+c \right)}^{2}}$ nên ta sẽ chứng minh bất đẳng thức mạnh hơn.

                $\frac{{{a}^{3}}}{{{b}^{2}}-bc+{{c}^{2}}}+\frac{{{b}^{3}}}{{{c}^{2}}-ca+{{a}^{2}}}+\frac{{{c}^{3}}}{{{a}^{2}}-ab+{{b}^{2}}}\ge a+b+c\left( 1 \right)$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz

\[VT\left( 1 \right)\ge \frac{{{\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}} \right)}^{2}}}{ab\left( a+b \right)+bc\left( b+c \right)+ca\left( c+a \right)-3abc}\]

Cần chứng minh

$\[{{\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}} \right)}^{2}}\ge \left( ab\left( a+b \right)+bc\left( b+c \right)+ca\left( c+a \right)-3abc \right)\left( a+b+c \right)\] \[\Leftrightarrow {{a}^{4}}+{{b}^{4}}+{{c}^{4}}+3abc\left( a+b+c \right)+2\sum{{{a}^{2}}{{b}^{2}}}\ge \sum{ab{{\left( a+b \right)}^{2}}}+\sum{abc\left( a+b \right)}\] \[\Leftrightarrow {{a}^{4}}+{{b}^{4}}+{{c}^{4}}+abc\left( a+b+c \right)\ge \sum{ab\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)}\]$

Bất đẳng thức cuối là Bất đẳng thức Schur với k=2.

@ Đình Huy: Cảm ơn nhiều.


Mục đích của cuộc sống là sống có mục đích :biggrin:


#9
phathuy

phathuy

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 169 Bài viết

Bài toán 8 mình giải dài quá, có bác nào có cách ngắn hơn và đơn giản hơn không?


Mục đích của cuộc sống là sống có mục đích :biggrin:





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh