CMR với mọi số nguyên $n\geq 1$ ta có:
$[\sqrt{n} + \sqrt{n+1} + \sqrt{n+2} ] = [\sqrt{9n+8}]$
Bài này trong giải giải như sau:
Ta có:
$(\sqrt{n} + \sqrt{n+1} +\sqrt{n+2})^2$
$= 3n + 3 + 2(\sqrt{n(n+1)} + \sqrt{(n+1)(n+2)} + \sqrt{(n+2)n})$ (1)
Ta dễ dàng CM được:
$n+\frac{2}{5} < \sqrt{n(n+1)} < n + \frac{1}{2}$ (2)
$n+\frac{7}{5} < \sqrt{(n+1)(n+2)} < n + \frac{3}{2}$ (3)
$n+\frac{7}{10} < \sqrt{(n+2)n} < n + 1$ (4)
Từ (1), (2), (3), (4) suy ra $9n + 8 <(\sqrt{n} + \sqrt{n+1} +\sqrt{n+2})^2<9n+9$, Do đó: $[\sqrt{n} + \sqrt{n+1} + \sqrt{n+2}] = [\sqrt{9n+8}]$
Em không hiểu tại sao trong giải tìm được các số $\frac{2}{5}$, $\frac{7}{5}$, $\frac{7}{10}$ để CM được.
Mọi người huớng dẫn hộ em với.
Tks mọi người.