Chủ đề này có 1 trả lời

[HoangHungChelski]

Cho $x,y,z$ nguyên dương thỏa $\left\{\begin{matrix} 2^x-1=y^z & \\ x>1 & \end{matrix}\right.$.
CMR: $z=1$.

[Tran Nguyen Lan 1107]

Cho $x,y,z$ nguyên dương thỏa $\left\{\begin{matrix} 2^x-1=y^z & \\ x>1 & \end{matrix}\right.$.
CMR: $z=1$.

Dễ thấy y lẻ

Trước hết ta sẽ chứng minh z lẻ

Thật vậy . Nếu z chẵn, y lẻ => $y^{z}=(y^{2})^{k}\equiv 1^{k}\equiv 1(mod 4)$

Suy ra $y^{z}+1\equiv 2(mod 4)$ nhưng $2^{x}\equiv 0(mod 4)$ do x>1

=>Vô lí => z lẻ

Nếu z=1 thoả mãn đề ra

Nếu z>1 thì

Suy ra $2^{x}=y^{z}+1=(y+1)(y^{z-1}-y^{z-2}+...+1)$

Mà $(y^{z-1}-y^{z-2}+...+1)$ có lẻ số hạng, mỗi số hạng là số lẻ nên là lẻ

Suy ra $2^{x}$ có 1 thừa số lẻ=> Vô lí

Vậy z=1

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Tran Nguyen Lan 1107: 04-06-2014 - 08:26