Đến nội dung

Hình ảnh

Đề thi vào lớp 10 trường THPT chuyên Đại Học Vinh năm 2014-2015 môn toán (vòng 2)


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 27 trả lời

#1
Yagami Raito

Yagami Raito

    Master Tetsuya

  • Thành viên
  • 1333 Bài viết

Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 trường THPT chuyên Đại Học Vinh môn toán (vòng 2)

Năm Học 2014-2015

 

 

 

Câu 1: Giải các phương trình sau

 

a) $\dfrac{3}{x^2-2x}+\dfrac{4}{(x-1)^2}=5$

b) $\sqrt{x}+\sqrt{2x-1}=\sqrt{4x-1}$

 

Câu 2: Tìm các số nguyên tố $p,q$ thỏa mãn $p^2=8q+9$

 

Câu 3: Giả sử $n$ là một số nguyên dương và $a_1,a_2,..a_{n}$ là các số nguyên lẻ.

      Đặt $A_{n}=a_1^4+a_2^4+...+a_{n}^4$. Chứng minh rằng $A_{n}$ chai hết cho 16 khi và chỉ khi $n$ chia hết cho 16

 

Câu 4: Giả sử $x,y,z$ là các số thực không âm thỏa mãn $x+y+z+xyz=4$

Tìm giá trị lớn nhất của $P=xy+yz+zx$

 

Câu 5 : Cho đường tròn $(O;R)$ và $AB$ là một dây cung của đường tròn đó $(AB<2R)$. $M$ là điểm thuộc cung lớn $AB$ (M khác A và B). Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $M$ lên $AB$.

a) Chứng minh rằng $\angle AMH=\angle BMO$

b) Gọi $I$ là điểm chính giữa cung nhỏ $AB$, $J$ là giao điểm của $MI$ và $AB$.

CHứng minh rằng $MA.MB=MI.MJ$

c) Gọi $K$ là điểm đối xứng với $I$ qua $O$.Chứng minh rằng đường thẳng $BK $ đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp $MJB$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Yagami Raito: 08-06-2014 - 18:17

:nav: Học gõ công thức toán học tại đây

:nav: Hướng dẫn đặt tiêu đề tại đây

:nav: Hướng dẫn Vẽ hình trên diễn đàn toán tại đây

--------------------------------------------------------------

 


#2
Tran Nguyen Lan 1107

Tran Nguyen Lan 1107

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 123 Bài viết

 

Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 trường THPT chuyên Đại Học Vinh môn toán (vòng 2)

Năm Học 2014-2015

 

 

 

 

Câu 4: Giả sử $x,y,z$ là các số thực không âm thỏa mãn $x+y+z+xyz=4$

Tìm giá trị lớn nhất của $P=xy+yz+zx$

Không mất tính tổng quát giả sử x là số nhỏ nhất

Xét 2 trường hợp sau

TH1: yz$\leq 1$

Suy ra xy,xz$\leq 1$ hay P$\leq 3$

TH2: yz>1

Suy ra $xyz\geq x => 4=x+y+z+xyz\geq x+y+x+z\geq 2\sqrt{(x+y)(x+z)}=2\sqrt{x^{2}+P}\geq 2\sqrt{P}$

Hay $P\leq 4$

Vậy Max P=4 <=>$\left\{\begin{matrix} xyz=x & & \\ x^{2}=0 & & \\ x+y=x+z & & \\ x+y+z+xyz=4 & & \end{matrix}\right.$

<=> x=0,y=z=2 và các hoán vị



#3
Mikhail Leptchinski

Mikhail Leptchinski

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 703 Bài viết

 

Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 trường THPT chuyên Đại Học Vinh môn toán (vòng 2)

Năm Học 2014-2015

Câu 2: Tìm các số nguyên tố $p,q$ thỏa mãn $p^2=8q+9$

Xét $p=2 => q=2$ thỏa mãn

      $p=3 =>q=0$ không thỏa mãn

Với $p\geq 5$ phương trình trở thành

    $(p-3)(p+3)=8q$

Vì p là số nguyên tố $\geq$ 5 nên p lẻ nên vế trái chia hết cho 16$=> 8q \vdots 16$

Từ đó $=>$ q chẵn 

  mà q nguyên tố nên q=2

 Vậy phương trình có cặp nghiệm duy nhất p=5,q=2


Chính trị chỉ cho hiện tại,nhưng phương trình là mãi mãi

(Albert Einstein)
Đường đi không khó vì ngăn sông cách núi,mà khó vì lòng người ngại núi e sông




Đừng xấu hổ khi không biết ,chỉ xấu hổ khi không học

Các bạn ủng hộ kỹ thuật tìm điểm rơi trong chứng minh bất đẳng thức nhé
:icon12: :icon12: Tại đây :icon12: :icon12:

#4
Yagami Raito

Yagami Raito

    Master Tetsuya

  • Thành viên
  • 1333 Bài viết

Xét $p=2 => q=2$ thỏa mãn

      $p=3 =>q=0$ không thỏa mãn

Với $p\geq 5$ phương trình trở thành

    $(p-3)(p+3)=8q$

Vì p là số nguyên tố $\geq$ 5 nên p lẻ nên vế trái chia hết cho 16$=> 8q \vdots 16$

Từ đó $=>$ q chẵn 

  mà q nguyên tố nên q=2

 Vậy phương trình có cặp nghiệm duy nhất p=5,q=2

Sai nhé $p=7;q=5$ xem đúng không :P


:nav: Học gõ công thức toán học tại đây

:nav: Hướng dẫn đặt tiêu đề tại đây

:nav: Hướng dẫn Vẽ hình trên diễn đàn toán tại đây

--------------------------------------------------------------

 


#5
Mikhail Leptchinski

Mikhail Leptchinski

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 703 Bài viết

Sai chỗ nào vậy không hiểu


Chính trị chỉ cho hiện tại,nhưng phương trình là mãi mãi

(Albert Einstein)
Đường đi không khó vì ngăn sông cách núi,mà khó vì lòng người ngại núi e sông




Đừng xấu hổ khi không biết ,chỉ xấu hổ khi không học

Các bạn ủng hộ kỹ thuật tìm điểm rơi trong chứng minh bất đẳng thức nhé
:icon12: :icon12: Tại đây :icon12: :icon12:

#6
Mikhail Leptchinski

Mikhail Leptchinski

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 703 Bài viết

.Câu 1 b

ĐK $x\geq \frac{1}{2}$

Bình phương 2 vế rút gọn ta có 

$2\sqrt{2x^2-x}=x$

Bình phương tiếp có

$7x^2-4x=0$

<=> $x=\frac{4}{7}$

Thử lại thỏa mãn

Vậy $x=\frac{4}{7}$


Chính trị chỉ cho hiện tại,nhưng phương trình là mãi mãi

(Albert Einstein)
Đường đi không khó vì ngăn sông cách núi,mà khó vì lòng người ngại núi e sông




Đừng xấu hổ khi không biết ,chỉ xấu hổ khi không học

Các bạn ủng hộ kỹ thuật tìm điểm rơi trong chứng minh bất đẳng thức nhé
:icon12: :icon12: Tại đây :icon12: :icon12:

#7
Yagami Raito

Yagami Raito

    Master Tetsuya

  • Thành viên
  • 1333 Bài viết

Không mất tính tổng quát giả sử x là số nhỏ nhất

Xét 2 trường hợp sau

TH1: yz$\leq 1$

Suy ra xy,xz$\leq 1$ hay P$\leq 3$

TH2: yz>1

Suy ra $xyz\geq x => 4=x+y+z+xyz\geq x+y+x+z\geq 2\sqrt{(x+y)(x+z)}=2\sqrt{x^{2}+P}\geq 2\sqrt{P}$

Hay $P\leq 4$

Vậy Max P=4 <=>$\left\{\begin{matrix} xyz=x & & \\ x^{2}=0 & & \\ x+y=x+z & & \\ x+y+z+xyz=4 & & \end{matrix}\right.$

<=> x=0,y=z=2 và các hoán vị

Cách 2

Giả sử x=max{x;y;z}

$\Rightarrow x+y+z \leq  3x$ và $xyz \leq x^3$

$\Rightarrow x^3+3x \geq 4$ $\Leftrightarrow (x-1)(x^2+x+4) \geq 0$

$\Rightarrow x \geq 1$

Ta có $P=x(x+y+z)+yz-x^2=x(4-xyz)+yz-x^2=-(x-2)^2+4+yz(1-x^2) \leq 4$

Vậy $P_{max}=4$ khi $x,y,z$ là hoán vị của $(2;2;0)$


:nav: Học gõ công thức toán học tại đây

:nav: Hướng dẫn đặt tiêu đề tại đây

:nav: Hướng dẫn Vẽ hình trên diễn đàn toán tại đây

--------------------------------------------------------------

 


#8
Mikhail Leptchinski

Mikhail Leptchinski

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 703 Bài viết

Câu 2 $\Delta$ được đấy đúng là có 2 nghiệm


Chính trị chỉ cho hiện tại,nhưng phương trình là mãi mãi

(Albert Einstein)
Đường đi không khó vì ngăn sông cách núi,mà khó vì lòng người ngại núi e sông




Đừng xấu hổ khi không biết ,chỉ xấu hổ khi không học

Các bạn ủng hộ kỹ thuật tìm điểm rơi trong chứng minh bất đẳng thức nhé
:icon12: :icon12: Tại đây :icon12: :icon12:

#9
canhhoang30011999

canhhoang30011999

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 634 Bài viết

 

Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 trường THPT chuyên Đại Học Vinh môn toán (vòng 2)

Năm Học 2014-2015

 

 

 

Câu 1: Giải các phương trình sau

 

a) $\dfrac{3}{x^2-2x}+\dfrac{4}{(x-1)^2}=5$

b) $\sqrt{x}+\sqrt{2x-1}=\sqrt{4x-1}$

 

Câu 2: Tìm các số nguyên tố $p,q$ thỏa mãn $p^2=8q+9$

 

Câu 3: Giả sử $n$ là một số nguyên dương và $a_1,a_2,..a_{n}$ là các số nguyên lẻ.

      Đặt $A_{n}=a_1^4+a_2^4+...+a_{n}^4$. Chứng minh rằng $A_{n}$ chai hết cho 16 khi và chỉ khi $n$ chia hết cho 16

 

Câu 4: Giả sử $x,y,z$ là các số thực không âm thỏa mãn $x+y+z+xyz=4$

Tìm giá trị lớn nhất của $P=xy+yz+zx$

 

Câu 5 : Cho đường tròn $(O;R)$ và $AB$ là một dây cung của đường tròn đó $(AB<2R)$. $M$ là điểm thuộc cung lớn $AB$ (M khác A và B). Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $M$ lên $AB$.

a) Chứng minh rằng $\angle AMH=\angle BMO$

b) Gọi $I$ là điểm chính giữa cung nhỏ $AB$, $J$ là giao điểm của $MI$ và $AB$.

CHứng minh rằng $MA.MB=MI.MJ$

c) Gọi $K$ là điểm đối xứng với $I$ qua $O$.Chứng minh rằng đường thẳng $BK $ đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp $MJB$

 

câu 4

giả sử z là số bé nhất trong 3 số x,y,z

ta có $z\leq 1$

$0\leq z\leq 1\Rightarrow 0\leq 1-z\leq 1$

nếu $(x-1)(y-1)\leq 0$

$\Rightarrow (x-1)(y-1)(z-1)\geq 0 (1)$

nếu $(x-1)(y-1)\geq 0$

ta có $x+y\leq 4$

$\Rightarrow (x+y)^{2}\leq4( x+y)$

$\Rightarrow$ $4(x+y)\geq 4xy$

$xy-x-y+1\leq 1$

$(x-1)(y-1)\leq 1$

$\Rightarrow (x-1)(y-1)(1-z)\leq 1$

$\Rightarrow (x-1)(y-1)(z-1)\geq -1(2)$

từ (1) và (2) ta có

$(x-1)(y-1)(z-1)\geq -1$

$\Leftrightarrow xy+yz+zx\leq xyz+z+x+y= 4$

dấu = xảy ta khi x=y=2,z=0



#10
canhhoang30011999

canhhoang30011999

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 634 Bài viết

 

Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 trường THPT chuyên Đại Học Vinh môn toán (vòng 2)

Năm Học 2014-2015

 

 

 

Câu 2: Tìm các số nguyên tố $p,q$ thỏa mãn $p^2=8q+9$

 

 

 

ta có

p lẻ đặt p=2k+1

$pt\Leftrightarrow (2k+1-3)(2k+1+3)=8q$

$\Leftrightarrow (k-1)(k+2)= 2q$

do 2 và q là 2 số nguyên tố mà

$2q> 1,q\geq 2,k+2> k-1$

$\Rightarrow$ có 2 TH

th1$\left\{\begin{matrix} &k-1=2 & \\ &k+2=q & \end{matrix}\right.$$\Rightarrow q=5\Rightarrow p=7$

TH2 $\left\{\begin{matrix} &k-1=1 & \\ &k+2=2q & \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow q=2\Rightarrow p= 5$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi canhhoang30011999: 09-06-2014 - 08:40


#11
Ngoc Hung

Ngoc Hung

    Đại úy

  • Điều hành viên THCS
  • 1547 Bài viết

Bài 1: a) ĐKXĐ: $x\neq 0;1;2$. Đặt $y=x^{2}-2x\Rightarrow \frac{3}{y}+\frac{4}{y+1}=5\Rightarrow (y-1)(5y+3)=0$

Với y = 1 ta có nghiệm $x=1\pm \sqrt{2}$

Với $y=-\frac{3}{5}$ ta có nghiệm $x=1\pm \sqrt{\frac{2}{5}}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hachinh2013: 09-06-2014 - 09:40


#12
Tran Nguyen Lan 1107

Tran Nguyen Lan 1107

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 123 Bài viết

 

Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 trường THPT chuyên Đại Học Vinh môn toán (vòng 2)

Năm Học 2014-2015

 

 

 

Câu 3: Giả sử $n$ là một số nguyên dương và $a_1,a_2,..a_{n}$ là các số nguyên lẻ.

      Đặt $A_{n}=a_1^4+a_2^4+...+a_{n}^4$. Chứng minh rằng $A_{n}$ chai hết cho 16 khi và chỉ khi $n$ chia hết cho 16

 

 

Ta có $x^{4}-1=(x^{2}-1)(x^{2}+1)=(x-1)(x+1)(x^{2}+1)$

Với x lẻ thì (x-1)(x+1) là tích 2 số chãn liên tiếp nên có 1 số chia hết cho 4

$x^{2}+1$ chẵn

Nên $(x^{2}+1)(x-1)(x+1)$ chia hết cho 16 hay $x^{4}-1\vdots 16 <=> x^{4}\equiv 1(mod 16)$

Áp dụng ta có $A_{n}\equiv n (mod 16)$ hay $A_{n}\vdots 16 <=> n\vdots 16$



#13
Belphegor Varia

Belphegor Varia

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 227 Bài viết

Ai làm bài hình đi


$ \textbf{NMQ}$

Wait a minute, You have enough time. Also tomorrow will come 

Just take off her or give me a ride 

Give me one day or one hour or just one minute for a short word 

 


#14
Ngoc Hung

Ngoc Hung

    Đại úy

  • Điều hành viên THCS
  • 1547 Bài viết

Bài 5:

hinh-cau5_zps83f82e4e.jpg



#15
liethaugia

liethaugia

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 26 Bài viết

Xét $p=2 => q=2$ thỏa mãn

      $p=3 =>q=0$ không thỏa mãn

Với $p\geq 5$ phương trình trở thành

    $(p-3)(p+3)=8q$

Vì p là số nguyên tố $\geq$ 5 nên p lẻ nên vế trái chia hết cho 16$=> 8q \vdots 16$

Từ đó $=>$ q chẵn 

  mà q nguyên tố nên q=2

 Vậy phương trình có cặp nghiệm duy nhất p=5,q=2

$(p-3)(p+3)=8q=1*2*4*q$

sau do suy ra 3 truong hop voi thua so chan la ra ban ak trong do 2 truong hop thoa man (5,2) (7,5)



#16
liethaugia

liethaugia

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 26 Bài viết

Bài 5:

hinh-cau5_zps83f82e4e.jpgQua J kẻ đường thẳng vuông góc AB tại J cắt đương tròn tại S F cắt BK tại K rồi chứng minh J,B,K,M cùng thuộc một đường tròn 



#17
liethaugia

liethaugia

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 26 Bài viết

đề năm nay khó quá so với năm ngoái khó hơn nhiều ở đây không biết ai thi trương này không 



#18
san1201

san1201

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 28 Bài viết

Mình thi này, năm nay khó quá , khó hơn so với năm ngoái. Chắc mình chưa trên 5 điểm điều kiện bạn ạ

Mà mi là nồi hả @liethaugia


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi san1201: 09-06-2014 - 20:03


#19
liethaugia

liethaugia

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 26 Bài viết

pạn là ai zậy cug thj trg này ak pạn làm dc bài nào



#20
toanc2tb

toanc2tb

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 325 Bài viết

Không phải mình kiêu nhưng nói thật hình như đề năm nay các tỉnh/tp hình như không quá khó! Chỉ cần động não thì mình nghĩ không khó quá để có cách giải như vậy!

 ps: có ai đồng ý với ý kiến của mình không? :wub: :closedeyes:  :icon6: :icon6: :icon6:


"Nếu đường chỉ tay quyết định số phận của bạn thì hãy nhớ đường chỉ tay nằm trong lòng bàn tay của bạn." (Issac Newton)

"Khi mọi thứ dường như đang quay lưng với bạn, thì hãy luôn nhớ rằng máy bay cất cánh được khi bay ngược chiều chứ không phải thuận chiều gió"   :icon6:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :oto:  :oto:  





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh