Chủ đề này có 3 trả lời

[Linh Khanh]

1)Cho các số a,b,c thoả mãn $-1\leq a,b,c\leq 4 và  a+2b+3c\leq 4$.Cmr :$a^2+2b^2+3c^2\leq 36$

 2)Cho a,b$\in \left [ 1;2 \right ] .Cmr:\left ( a+b+c \right )\left ( \frac{1}{a} +\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right )\leq 10$

P/s mình không giỏi phần có đk dàng buộc kiểu  -1$\leq a,b,c\leq 4$,các bạn trình bày chi tiết cho mình

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Linh Khanh: 19-06-2014 - 21:19

[canhhoang30011999]

1)Cho các số a,b,c thoả mãn $-1\leq a,b,c\leq 4 và  a+2b+3c\leq 4$.Cmr :$a^2+2b^2+3c^2\leq 36$

 2)Cho a,b$\in \left [ 1;2 \right ] .Cmr:\left ( a+b+c \right )\left ( \frac{1}{a} +\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right )\leq 10$

P/s mình không giỏi phần có đk dàng buộc kiểu  -1$\leq a,b,c\leq 4$,các bạn trình bày chi tiết cho mình

2 bđt $\Leftrightarrow 7abc-\sum_{sym}^{a,b,c}a^{2}b\geq 0$

mà $(a-1)(a-2)\leq 0$

$\Rightarrow a^{2}-3a+2\leq 0$

$\Rightarrow a^{2}b\leq 3ab-2b$

$\Rightarrow 7abc-\sum_{sym}^{a,b,c} a^{2}b\geq 7abc-6\sum ab-4\sum a$

mà $\prod (a-1)\geq 0$$\Rightarrow 8\prod (a-1)\geq 0$

$\prod (a-2)\leq 0$

trừ vế vế ta có đpcm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi canhhoang30011999: 19-06-2014 - 22:49

[Tran Nguyen Lan 1107]

1)Cho các số a,b,c thoả mãn $-1\leq a,b,c\leq 4 và  a+2b+3c\leq 4$.Cmr :$a^2+2b^2+3c^2\leq 36$

 

Do $-1\leq a,b,c\leq 4$ suy ra $(a+1)(a-4)\leq 0$ <=>$a^{2}\leq 3a+4$

Tương tự ta có $2b^{2}\leq 6b+8,3c^{2}\leq 9c+12$

Suy ra $a^{2}+2b^{2}+3c^{2}\leq 3(a+2b+3c)+4+8+12\leq 36$ (DPCM)

Dấu bằng xảy ra khi a=c=-1,b=4

[toanc2tb]

Không mất tổng quát, giả sử: $1\leq a \leq b \leq c \leq 2$

$(1-\frac{a}{b})(1-\frac{b}{c})+(1-\frac{b}{a})(1-\frac{c}{b})\geq0$

$\Leftrightarrow 1-\frac{b}{c}-\frac{a}{b}+\frac{a}{c}+1-\frac{c}{b}+\frac{c}{a}-\frac{b}{a}\geq 0$

$\Leftrightarrow \frac{a}{b}+\frac{b}{a}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\leq 2+\frac{a}{c}+\frac{c}{a}$

Mặt khác:

$1\leq a \leq c \leq 2 \Rightarrow \frac{1}{2}\leq \frac{a}{c} \leq 1$

$(1-\frac{a}{c})(\frac{1}{2}-\frac{a}{c})\leq 0 \Leftrightarrow 1-\frac{5a}{2c} +\frac{a^2}{c^2}\leq 0$

                                         $\Leftrightarrow 1+\frac{a^2}{c^2}\leq \frac{5a}{2c} \Leftrightarrow \frac{a}{c}+\frac{c}{c}\leq \frac{5}{2}$

Vậy:

$(a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})=3+\frac{a}{b}+\frac{b}{a}+\frac{b}{c}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c}+\frac{c}{a}\leq 3+2+\frac{5}{2}+\frac{5}{2}=10$

Dấu $"="$ xảy ra khi và chỉ khi $(x;y;z)=(1;1;2)$ và các hoán vị của nó.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi toanc2tb: 29-06-2014 - 07:50