Chủ đề này có 3 trả lời

[Ngoc Hung]

Cho các số thực a, b, c phân biệt. Chứng minh rằng:

1) $\frac{(a-2b)^{2}+(a-2c)^{2}}{(b-c)^{2}}+\frac{(b-2c)^{2}+(b-2a)^{2}}{(c-a)^{2}}+\frac{(c-2a)^{2}+(c-2b)^{2}}{(a-b)^{2}}\geq 22$

2) $\frac{(1-a^{2})(1-b^{2})}{(a-b)^{2}}+\frac{(1-b^{2})(1-c^{2})}{(b-c)^{2}}+\frac{(1-c^{2})(1-a^{2})}{(c-a)^{2}}\geq -1$

 

[hoanganhhaha]

em k nhớ cách làm nhưng hình như dấu bằng xảy ra khi mà $ (a+b+c)^2=0$

[lahantaithe99]

Cho các số thực a, b, c phân biệt. Chứng minh rằng:

 

2) $\frac{(1-a^{2})(1-b^{2})}{(a-b)^{2}}+\frac{(1-b^{2})(1-c^{2})}{(b-c)^{2}}+\frac{(1-c^{2})(1-a^{2})}{(c-a)^{2}}\geq -1$

 

BĐT cần chứng minh tương đương

 

$\sum \frac{(a^2-1)(1-b^2)}{(a-b)^2}\leqslant 1\Leftrightarrow \sum \frac{(a-b)^2-(ab-1)^2}{(a-b)^2}\leqslant 1\Leftrightarrow \sum \frac{(ab-1)^2}{(a-b)^2}\geqslant 2$

 

Đặt $(\frac{ab-1}{a-b},...)=(x,y,z)$

 

Ta đi chứng minh $x^2+y^2+z^2\geqslant 2$

 

Mà ta lại có $\sum xy=\sum \frac{(ab-1)(bc-1)}{(a-b)(b-c)}=\frac{\sum a^2b-\sum ab^2}{\sum ab^2-\sum a^2b}=-1$

 

$\Rightarrow x^2+y^2+z^2=(x+y+z)^2-2(xy+yz+xz)\geqslant -2(xy+yz+xz)=2$ 

 

Do đó ta có đpcm

 

Dấu $=$ xảy ra khi $\sum \frac{ab-1}{a-b}=0$

[lahantaithe99]

Cho các số thực a, b, c phân biệt. Chứng minh rằng:

1) $\frac{(a-2b)^{2}+(a-2c)^{2}}{(b-c)^{2}}+\frac{(b-2c)^{2}+(b-2a)^{2}}{(c-a)^{2}}+\frac{(c-2a)^{2}+(c-2b)^{2}}{(a-b)^{2}}\geq 22$

 

 

Thôi giải quyết nốt bài còn lại

 

Để ý ta sẽ có

 

$Vt=\sum \frac{2(a-b-c)^2+2(b-c)^2}{(b-c)^2}=\sum \frac{2(a-b-c)^2}{(b-c)^2}+6$

 

Để kết thúc bài toán cần chứng minh $\sum \frac{(a-b-c)^2}{(b-c)^2}\geqslant 8$ 

 

Đặt $(\frac{c-a-b}{a-b},...)=(x,y,z)$ thì cần chứng minh $x^2+y^2+z^2\geqslant 8$

 

Ta có đẳng thức 

 

$\sum xy=\sum \frac{(a-b-c)(c-a-b)}{(a-b)(b-c)}=\frac{4(\sum a^2b-\sum ab^2)}{\sum ab^2-\sum a^2b}=-4$

 

$\Rightarrow x^2+y^2+z^2=(x+y+z)^2-2(xy+yz+xz)\geqslant -2(xy+yz+xz)=8$

 

Do đó ta có đpcm

 

Dấu đẳng thức xảy ra khi $\sum \frac{a-b-c}{b-c}=0$