Đến nội dung

Hình ảnh

$(x^{2}+y^{2}+z^{2})(\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{y^{2}}+\frac{1}{z^{2}})\geq \frac{27}{2}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
ILOVECR7

ILOVECR7

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 22 Bài viết

Cho 3 số thực dương x,y,z thỏa mãn x+y$\leq z$. Chứng minh rằng:

$(x^{2}+y^{2}+z^{2})(\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{y^{2}}+\frac{1}{z^{2}})\geq \frac{27}{2}$

 

@MOD : chú ý cách đặt tiêu đề


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoctrocuanewton: 24-06-2014 - 12:14


#2
Tran Nguyen Lan 1107

Tran Nguyen Lan 1107

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 123 Bài viết

Cho 3 số thực dương x,y,z thỏa mãn x+y$\leq z$. Chứng minh rằng:

$(x^{2}+y^{2}+z^{2})(\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{y^{2}}+\frac{1}{z^{2}})\geq \frac{27}{2}$

 

@MOD : chú ý cách đặt tiêu đề

BĐT cần c/m <=>3+$\frac{x^{2}}{y^{2}}+\frac{y^{2}}{x^{2}}+\frac{x^{2}}{z^{2}}+\frac{z^{2}}{x^{2}}+\frac{y^{2}}{z^{2}}+\frac{z^{2}}{y^{2}}\geq \frac{27}{2}$

Áp dụng bdt côsi ta có

$\frac{x^{2}}{y^{2}}+\frac{y^{2}}{x^{2}}\geq 2$

$\frac{x^{2}}{z^{2}}+\frac{z^{2}}{16x^{2}}\geq \frac{1}{2}$

$\frac{y^{2}}{z^{2}}+\frac{z^{2}}{16y^{2}}\geq \frac{1}{2}$

$\frac{15}{16}(\frac{z^{2}}{x^{2}}+\frac{z^{2}}{y^{2}})\geq \frac{15}{16}(x+y)^{2}(\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{y^{2}})=\frac{15}{16}(x^{2}+y^{2})(\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{y^{2}})+\frac{15}{8}(\frac{x}{y}+\frac{y}{x})\geq \frac{15}{2}$

Cộng 3 bất dẳng thức trên ta có DPCM






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh