Chủ đề này có 79 trả lời

[Rias Gremory]

 Áp dụng BĐT AM-GM ta có :

 $\frac{a^3}{b^2}+a\geq \frac{2a^2}{b}\Rightarrow \frac{a^3}{b^2}+\frac{b^3}{c^2}+\frac{c^3}{a^2}\geq 2-(a+b+c)$

 Vì vậy ta chỉ cần chứng minh 

      $2-(a+b+c)\geq 1+\frac{a^2}{2b^2}.(a-b)^2+\frac{b^2}{2c^2}.(b-c)^2+\frac{c^2}{2a^2}.(c-a)^2$

      $\Leftrightarrow \frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\geq a+b+c+\frac{a^2}{2b^2}.(a-b)^2+\frac{b^2}{2c^2}.(b-c)^2+\frac{c^2}{2a^2}.(c-a)^2$

 Theo BĐT (3) thì ta cần chỉ ra $\frac{a^2}{2b},\frac{b^2}{2c},\frac{c^2}{2a}\in (0;1]$

 Mà ta lại có : $\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}=1\Rightarrow \frac{a^2}{b}<1<2\Rightarrow \frac{a^2}{2b}<1$

 Từ đó có điều cần chứng minh

Bài này còn cách giải khác là áp dụng BĐT $(10)$ 

Với $\alpha =\frac{3b}{4(a+b)}.\frac{a^2}{b}; \beta =\frac{3c}{4(b+c)}.\frac{b^2}{c}; \gamma =\frac{3a}{4(c+a)}.\frac{c^2}{a}$

Ngày mai sẽ post tiếp bài tập nhé  

[Rias Gremory]

Tiếp tục nào 

Bài $11$ :

Với $a,b,c>0;\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}=1$. Chứng minh

$\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{c^2}+\frac{c^2}{a^2}\geq 1+\frac{(a-b)^2}{c^2}+\frac{(b-c)^2}{a^2}+\frac{(c-a)^2}{b^2}$

Bài $12$ :

Với $a,b,c>0$. Chứng minh

$\frac{a^3}{b^2}+\frac{b^3}{c^2}+\frac{c^3}{a^2}\geq \frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}+\frac{(a-b)^2}{2b}+\frac{(b-c)^2}{2c}+\frac{(c-a)^2}{2a}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PhamHungCxHT: 27-07-2015 - 20:03

[hoctrocuaHolmes]

 

Tiếp tục nào 

Bài $11$ :

Với $a,b,c>0;\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}=1$. Chứng minh

$\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{c^2}+\frac{c^2}{a^2}\geq 1+\frac{(a-b)^2}{c^2}+\frac{(b-c)^2}{a^2}+\frac{(c-a)^2}{b^2}$

Bài $12$ :

Với $a,b,c>0;\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{c^2}+\frac{c^2}{a^2}=1$. Chứng minh

$\frac{a^3}{b^2}+\frac{b^3}{c^2}+\frac{c^3}{a^2}\geq \frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}+\frac{(a-b)^2}{2b}+\frac{(b-c)^2}{2c}+\frac{(c-a)^2}{2a}$

 

Bài 11: Áp dụng bất đẳng thức $(9)$

Đặt $\alpha =\frac{b^{2}}{c^{2}};\beta =\frac{c^{2}}{a^{2}};\gamma =\frac{a^{2}}{b^{2}}$

Dễ thấy $\alpha ;\beta ;\gamma > 0$

Theo gt $\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}=1\rightarrow \frac{a}{b}< 1\Rightarrow a< b\Rightarrow a^{2}< b^{2}\Rightarrow \frac{a^{2}}{b^{2}}<1\rightarrow \alpha < 1$

Tương tự ta cm được $0<\alpha ;\beta ;\gamma < 1$

Thay các ẩn vừa đặt vào bất đẳng thức đã cho ta có BDT $(9)$ 

Chú ý với điều kiện $\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}=1$ thay vào nữa là OK

Cm hoàn tất   

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi votruc: 09-07-2015 - 16:35

[hoctrocuaHolmes]

 

Tiếp tục nào 

Bài $11$ :

Với $a,b,c>0;\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}=1$. Chứng minh

$\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{c^2}+\frac{c^2}{a^2}\geq 1+\frac{(a-b)^2}{c^2}+\frac{(b-c)^2}{a^2}+\frac{(c-a)^2}{b^2}$

Bài $12$ :

Với $a,b,c>0;\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{c^2}+\frac{c^2}{a^2}=1$. Chứng minh

$\frac{a^3}{b^2}+\frac{b^3}{c^2}+\frac{c^3}{a^2}\geq \frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}+\frac{(a-b)^2}{2b}+\frac{(b-c)^2}{2c}+\frac{(c-a)^2}{2a}$

 

Em có 1 thắc mắc ạ.Nếu như theo AM-GM bộ 3 số thì ta sẽ có $\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\geq 3$ sẽ không bé hơn $1$

Dẫn đến gt sai phải không ạ??

[Rias Gremory]

Em có 1 thắc mắc ạ.Nếu như theo AM-GM bộ 3 số thì ta sẽ có $\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\geq 3$ sẽ không bé hơn $1$

Dẫn đến gt sai phải không ạ??

Ừ . giả thiết sai rồi , haizz . Bất cẩn quá không để ý , để kiếm bài tập post lên tiếp nào  

Em làm xong rồi ms nhìn lại . hay ha

[Rias Gremory]

Tiếp tục chuyên đề 

$13$,

Cho $a,b,c>0$ . CHứng minh :

$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq \frac{2}{a+b}+\frac{3}{b+c}+\frac{1}{c+a}+\frac{1}{\sqrt{ab}}+\frac{1}{2\sqrt{bc}}+\frac{3}{2\sqrt{ca}}$

$14$.

Với $a,b,c >0 ; a+b+c=1$ . Chứng minh rằng 

$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq 2(\frac{1-2\sqrt{bc}}{1-a}+\frac{1-2\sqrt{ca}}{1-b}+\frac{1-2\sqrt{ab}}{1-c})$

[rainbow99]

Tiếp tục chuyên đề 

$13$,

Cho $a,b,c>0$ . CHứng minh :

$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq \frac{2}{a+b}+\frac{3}{b+c}+\frac{1}{c+a}+\frac{1}{\sqrt{ab}}+\frac{1}{2\sqrt{bc}}+\frac{3}{2\sqrt{ca}}$

$14$.

Với $a,b,c >0 ; a+b+c=1$ . Chứng minh rằng 

$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq 2(\frac{1-2\sqrt{bc}}{1-a}+\frac{1-2\sqrt{ca}}{1-b}+\frac{1-2\sqrt{ab}}{1-c})$

13. Áp dụng BĐT 6 với $\alpha = \frac{1}{4}$ ta thu được:

$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\geq \frac{2}{a+b}+\frac{1}{\sqrt{ab}}$

Chọn $\alpha =\frac{1}{8}$ ta có: $\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq \frac{3}{b+c}+\frac{1}{2\sqrt{bc}}$

Chọn $\alpha =\frac{3}{8}$ ta có: $\frac{1}{c}+\frac{1}{a}\geq \frac{1}{c+a}+\frac{3}{2\sqrt{ca}}$

Cộng lại Xong!

14. Dễ thấy $0<a,b,c<1$ 

Áp dụng tiếp BĐT 6 với $\alpha =\sqrt{ab}$ ta thu được:

$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\geq \frac{4-8\sqrt{ab}}{a+b}+4=\frac{4(1-2\sqrt{ab})}{1-c}+4$

Tương tự và cộng lại ta có ĐPCM

                                         

KLQ nhưng mà bài viết thứ 299 rồi hớ hớ !!!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi rainbow99: 21-08-2015 - 21:57

[hoctrocuaHolmes]

$\bullet$ $a^{m+n}+b^{m+n}\geq \frac{1}{2}(a^{m}+b^{m})(a^{n}+b^{n})+\frac{\alpha }{2}(a^{m}-b^{m})(a^{n}-b^{n})$ (4) 

$BĐT\Leftrightarrow (1-\alpha )(a^{m}-b^{m})(a^{n}-b^{n})$

$\bullet$ $a^{3}+b^{3}\geq ab(a+b)+\frac{2\alpha }{3}(a^{2}-b^{2})(a-b)$ (5)

Chứng minh : Ta có $\frac{a^{3}+b^{3}}{2}\geq (\frac{a+b}{2})^{3}+\frac{\alpha }{4}(a^{2}-b^{2})(a-b)$

$\Leftrightarrow 4(a^{3}+b^{3})\geq a^{3}+b^{3}+3ab(a+b)+2\alpha (a^{2}-b^{2})(a-b)$

$\Leftrightarrow a^{3}+b^{3}\geq ab(a+b)+\frac{2\alpha }{3}(a^{2}-b^{2})(a-b)$ (ĐPCM)

$\bullet$ $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\geq \frac{4-8\alpha }{a+b}+\frac{4\alpha }{\sqrt{ab}}$ (6)

 @PhamHungCxHT:Bổ sung phần cm cho bất đẳng thức $(4)$ với cái dòng đầu cm $(5)$ chưa được cm !

À mà anh không viết tiếp chuyên đề nữa ạ 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi votruc: 18-09-2015 - 16:08

[Rias Gremory]

 @PhamHungCxHT:Bổ sung phần cm cho bất đẳng thức $(4)$ với cái dòng đầu cm $(5)$ chưa được cm !

À mà anh không viết tiếp chuyên đề nữa ạ 

Chuyên đề này khá lạ , nên ít người tham gia thảo luận lắm em à , anh cũng chán lắm chứ !! Không có ai thảo luận , chỉ đọc thấy vui vui rồi like cái xong lượn đi

[Rias Gremory]

 @PhamHungCxHT:Bổ sung phần cm cho bất đẳng thức $(4)$ với cái dòng đầu cm $(5)$ chưa được cm !

À mà anh không viết tiếp chuyên đề nữa ạ 

Từ BĐT (4) suy ra $\frac{a^{m+n}+b^{m+n}}{2}\geq (\frac{a+b}{2})^{m+n}+\frac{\alpha }{4}(a^m-b^m)(a^n-b^n)$

[hoctrocuaHolmes]

Từ BĐT (4) suy ra $\frac{a^{m+n}+b^{m+n}}{2}\geq (\frac{a+b}{2})^{m+n}+\frac{\alpha }{4}(a^m-b^m)(a^n-b^n)$

Em thấy chuyên đề này hay mà hơi khó nhớ . Anh cứ viết tiếp đi,bỏ dở giữa chừng như thế không hay đâu,dù sao thì topic này cũng được đưa lên phần tuyển chọn rồi mà  .Với lại chắc ẩn nốt mấy bài spam vs sai Latex thôi,nhìn loạn cả topic 

[Rias Gremory]

BĐT $11$

Với $a,b,c>0, 0<\alpha ,\beta ,\gamma <1$ . $m,n$ là các số tự nhiên . Chứng minh : 

$\frac{a^{m+n}+b^{m+n}+c^{m+n}}{3}\geq (\frac{a+b+c}{3})^{m+n}+\frac{\alpha }{9}(a^m-b^m)(a^n-b^n)+\frac{\beta }{9}(a^m-c^m)(a^n-c^n)+\frac{\gamma }{9}(b^m-c^m)(b^n-c^n)$

 

Lời giải : 

$\frac{a^m+b^m+c^m}{3}\geq (\frac{a+b+c}{3})^m$

$\frac{a^n+b^n+c^n}{3}\geq (\frac{a+b+c}{3})^n$

Nên bất đẳng thức này suy trực tiếp từ BĐT $8$

[Rias Gremory]

Bài tập nhé : 

$15$ , Với $a,b,c$ thõa mãn $a\geq 2b\geq 4c>0$ . Chứng minh : 

$a^2+3b^2+5c^2\geq 2(ab+bc+ca)+\frac{1}{3}(b^3+c^3)+\frac{c^3}{b}$

[Element hero Neos]

Bài tập nhé : 

$15$ , Với $a,b,c$ thõa mãn $a\geq 2b\geq 4c>0$ . Chứng minh : 

$a^2+3b^2+5c^2\geq 2(ab+bc+ca)+\frac{1}{3}(b^3+c^3)+\frac{c^3}{b}$

đây

[HK139]

1. Cho x, y >0 thay đổi. Tìm GTNN
      $P= (1+x)(1 + \frac{y}{x})(1 + \frac{9}{\sqrt{y}})^2$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tpdtthltvp: 24-06-2016 - 15:23

[Baoriven]

Sử dụng BĐT B-C-S đầu tiên, ta được: $P\geq (1+\sqrt{y})^2(1+\frac{9}{\sqrt{y}})^2$

Tiếp tục sử dụng B-C-S lần II ta được : $P\geq (1+3)^4=256$

Dấu bằng xảy ra khi $y=9;x=3$

[Baoriven]

Bài 16: Chứng minh rằng với mọi x,y,z không âm ta có: 

$\sum xy\sqrt[3]{\frac{x^3+y^3}{2}}\leq \frac{1}{8}\sum (x+y)^3$

[LinhNa]

Tại sao học bất đẳng thức để nhớ lại khó như vậy ạ? Có cách nào để ghi nhớ lâu được không ạ   

[doan1984]

Em thấy chuyên đề này hay mà hơi khó nhớ . Anh cứ viết tiếp đi,bỏ dở giữa chừng như thế không hay đâu,dù sao thì topic này cũng được đưa lên phần tuyển chọn rồi mà  .Với lại chắc ẩn nốt mấy bài spam vs sai Latex thôi,nhìn loạn cả topic 

Hay mà bạn, có thể mail cho minh được ko? [email protected], cảm ơn bạn

[vamath16]

giải giùm em bài này em cần gấp lắm

cho $a,b,c>0;a^2+b^2+c^2=2$

cmr $\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\geq \frac{9}{a+b+c}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tpdtthltvp: 12-07-2016 - 10:23