phương trình $x+2y+3z=2013$ có bao nhiêu nghiệm nguyên dương
phương trình $x+2y+3z=2013$ có bao nhiêu nghiệm nguyên dương
#1
Đã gửi 26-07-2014 - 15:48
#2
Đã gửi 26-07-2014 - 20:06
phương trình $x+2y+3z=2013$ có bao nhiêu nghiệm nguyên dương
Gọi số nghiệm nguyên dương của phương trình đã cho là $k$.
Đặt $x'=x-1$ ; $y'=y-1$ ; $z'=z-1$
$\Rightarrow k$ cũng là số nghiệm tự nhiên của pt $x'+2y'+3z'=2007$ (1) ($x',y',z'\in \mathbb{N}$)
Lại đặt $m=x'+y'+z'$ ; $n=y'+z'$ ; $p=z'$
$\Rightarrow k$ là số nghiệm tự nhiên của pt $m+n+p=2007$ thỏa mãn điều kiện $m\geqslant n\geqslant p$
Xét pt $m+n+p=2007$ (2)
Nếu chưa xét đến điều kiện $m\geqslant n\geqslant p$ thì pt này có tất cả $C_{2009}^{2}$ nghiệm tự nhiên, trong đó :
+ Có đúng $1$ nghiệm thỏa mãn $m=n=p$
+ Có đúng $1003.C_{3}^{1}=3009$ nghiệm mà trong $3$ số $m,n,p$ có đúng $2$ số bằng nhau.
+ Có $C_{2009}^{2}-1-3009=2014026$ nghiệm mà trong đó $m,n,p$ khác nhau từng đôi một (suy ra có $\frac{2014026}{3!}=335671$ cách chọn $m,n,p$ sao cho $m> n> p$)
Nếu tính đến điều kiện $m\geqslant n\geqslant p$ thì số nghiệm tự nhiên của pt (2) là : $1+1003+335671=336675$
Vậy số nghiệm nguyên dương của pt đã cho là $k=336675$
- E. Galois, hxthanh, caybutbixanh và 7 người khác yêu thích
...
Ðêm nay tiễn đưa
Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...
#3
Đã gửi 26-07-2014 - 20:06
phương trình $x+2y+3z=2013$ có bao nhiêu nghiệm nguyên dương
lời giải tương tự http://www.math.wash...90120/nsols.pdf (bài này tổng quát lên theo n)
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi huyhoangfan: 26-07-2014 - 20:16
- Trang Luong, chardhdmovies và Thanh Vinh ND thích
#4
Đã gửi 26-07-2014 - 21:59
Giải theo lối "lao động chân tay" ta có:
\begin{align*}S&=\sum_{z=1}^{\left\lfloor\frac{2013-1-2}{3}\right\rfloor}\sum_{y=1}^{\left\lfloor\frac{2013-1-3z}{2}\right\rfloor}1\\ &= \sum_{z=1}^{670} \left(1006-z+\left\lfloor-\frac{z}{2}\right\rfloor\right) \\ &=\sum_{k=336}^{1005}k + \sum_{\substack{z=2k+1\\ 0\leq k \leq 334}} \left\lfloor-\frac{2k+1}{2}\right\rfloor +\sum_{\substack{z=2k\\ 1\leq k \leq 335}} \left\lfloor-\frac{2k}{2}\right\rfloor \\ &=\sum_{k=336}^{1005}k - \sum_{k=1}^{335}k - \sum_{k=1}^{335}k \\ &= 336675\end{align*}
- dangnamneu, Trang Luong, chanhquocnghiem và 4 người khác yêu thích
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh