Đến nội dung


Hình ảnh

Phương Pháp : Đặt ẩn phụ đưa về hệ phương trình đối xứng loại $2$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 13 trả lời

#1 Rias Gremory

Rias Gremory

    Del Name

  • Thành viên
  • 1368 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:♥•.:.ღ ๖ۣۜBờm & L.๖ۣۜCún's House ღ.:.•♥
  • Sở thích:╔♫═╗╔╗ ♥
    ╚╗╔╝║║♫═╦╦╦╔╗
    ╔╝╚╗♫╚╣║║║║╔╣
    ╚═♫╝╚═╩═╩♫╩═╝

Đã gửi 28-07-2014 - 17:24

*
Phổ biến

Mình thấy gặp rất nhiều bài toán về giải phương trình vô tỷ ở diễn đàn đã được giải giải bằng cách đặt ẩn phụ đưa về hệ đối xứng loại $2$

Và câu hỏi là : Tại sao lại có cách đặt như vậy ?? Chẳng nhẽ là may mắn sao, hay là '' mò ra ta có ''  . Câu trả lời là không !!

Đặt ẩn phụ thế nào , ra sao đều có nguyên nhân của nó !!

Ở phần này , mình sẽ lý giải về cách đặt đó !!

Đầu tiên , mình sẽ nói cách đạo hàm nhé . Cái này làm nháp nên bạn không cần hiểu sâu đạo hàm đâu .

$f(x)=ax^{2}+bx+c$ (*)

$f'(x)=2ax+b$ (**)

$g(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d$ (***)

$g'(x)=3ax^{2}+2bx+c$ (****)

$g''(x)=6ax+2b$ (*****)

Từ (****) xuống (*****) thì cũng giống như từ (*) xuống (**) . Các bạn không cần biết tại sao nó lại như vậy !! Chỉ cần nhớ công thức là được :D

Những phần mình tô màu đỏ là làm ở Nháp nhé , không có trong bài làm !!

 

Dạng $1$ : $\sqrt{ax+b}=\frac{1}{a}x^{2}+cx+d$ thõa mãn $b+ad=\frac{a^{2}c}{2}(1+\frac{c}{2})$  ( các bạn nhớ chú ý điều kiện dạng này nhá , chứ không nên để lẫn lộn )

Cách giải :

Xét $f(x)=\frac{1}{a}x^{2}+cx+d$

$f'(x)=\frac{2}{a}x+c_{1}'$

Ta cho $f'(x)=0\Leftrightarrow x=\frac{-ac}{2}$ hay $x+\frac{ac}{2}=0$ ( đoạn này cũng đừng hỏi tại sao nhé , nhớ là được )

Khi đó đặt $\sqrt{ax+b}=y+\frac{ac}{2}$

 

Ví dụ $1$ : $x^{2}+4x=\sqrt{x+6}$ (1)

ĐK : $x\geq -6$

$f(x)=x^{2}+4x$

$f'(x)=2x+4$

$f'(x)=0\Leftrightarrow x=-2$

Đặt $\sqrt{x+6}=y+2(y\geq -2)$ (2)

$\Rightarrow (y+2)^{2}=x+6$

Từ (1) ta có : $x^{2}+4x=y+2\Leftrightarrow (x+2)^{2}=y+6$ (3)

Từ (2)(3) ta có hệ ĐX L$2$ : $\left\{\begin{matrix} (x+2)^{2}=y+6 \\ (y+2)^{2}=x+6 \end{matrix}\right.$

Việc còn lại khá đơn giản phải không ??

 

Dạng $2$ : $\sqrt{ax+b}=cx^{2}+dx+e$ ( $a\neq 0 ,c\neq 0 , a\neq \frac{1}{c}$ )

Cách giải

$f(x)=cx^{2}+dx+e$

$f'(x)=2cx+d$

Đặt $\sqrt{ax+b}=2cy+d$

Ví dụ $2$ : $x^{2}-x-2013\sqrt{1+16104x}=2013$ (1)

Đặt $a=2013\Rightarrow 16104=8a$

PT(1) trở thành : $x^{2}-x-a\sqrt{1+8ax}=a$ (2)

$f(x)=x^{2}-x$

$f'(x)=2x-1$

Đặt $\sqrt{1+8ax}=2y-1$ ( $y\geq \frac{1}{2}$ )

$\Rightarrow 1+8ax=4y^{2}-4y+1\Leftrightarrow y^{2}-y=2ax$ (3)

PT(2) trở thành $x^{2}-x-a(2y-1)=a\Leftrightarrow x^{2}-x=2ay$ (4)

Từ (3)(4) ta có hệ đỗi xứng loại $2$ : $\left\{\begin{matrix} x^{2}-x=2ay \\ y^{2}-y=2ax \end{matrix}\right.$

 

Ví dụ $3$ : Ví dụ này khó hơn $2$ ví dụ trên !!

$\sqrt{3x+1}=-4x^{2}+13x-5$ (1)

Nếu ta làm như cách trên : 

$f(x)=-4x^{2}+13x$

$f'(x)=-8x+13$

Các bạn tiếp tục làm nhé , nhưng chắc chắn sẽ không ra đâu !! :D vì bài này khó hơn mà . Khi gặp tình cảnh này , nếu '' máy móc '' thì bí thôi . 

Nếu rơi vào trường hợp này , mình chia sẽ các bạn $1$ cách tìm ra cách đặt bằng phương pháp : '' ĐỒNG NHẤT HỆ SỐ ''

Ta chú ý một chút : Khi đặt $\sqrt{3x+1}=ax+b\Leftrightarrow 3x+1=a^{2}x^{2}+2abx+b^{2}\Leftrightarrow a^{2}x^{2}+x(2ab-3)+(b^{2}-1)=0$ (2)

PT(1) trở thành : $4x^{2}-13x+5+ax+b=0\Leftrightarrow 4x^{2}+x(a-13)+(b+5)=0$ (3)

Để từ (2)(3) ta có hệ đối xứng loại $2$ thì ta phải cân bằng hệ số một chút : 

$\left\{\begin{matrix} a^{2}=4 \\ 2ab-3=a-13 \\ b^{2}-1=b+5 \end{matrix}\right.$

Giải cái này ta sẽ tìm được : $\left\{\begin{matrix} a=-2 \\ b=3 \end{matrix}\right.$

Như vậy ta sẽ đặt : $\sqrt{3x+1}=-2y+3$ ( $y\leq \frac{3}{2}$ )

Việc còn lại các bạn tiếp tục nhé , thử xem nó có đưa về hệ đối xứng loại $2$ không   :D

 

Bài tập nhé : Các bạn thử dùng cách '' Đồng nhất hệ số '' này làm lại VD $1$ và VD $2$ 

 

Mở rộng lên bậc $3$ nhé ( thử xem được không ) :

 

Dạng $3$ : $\sqrt[3]{ax+b}=cx^{3}+dx^{2}+ex+f$ với $a\neq 0 ,c\neq 0, a=\frac{1}{c}$ ( các bạn nhớ chú ý điều kiện dạng này nhá , chứ không nên để lẫn lộn )

$f(x)=cx^{3}+dx^{2}+ex+f$

$f'(x)=3cx^{2}+2dx+e$

$f''(x)=6cx+2d$

$f''(x)=0\Leftrightarrow x=\frac{-d}{3c}$

Đặt $\sqrt[3]{ax+b}=y+\frac{d}{3c}$

 

Dạng $4$ : $\sqrt[3]{ax+b}=cx^{3}+dx^{2}+ex+f$ với $a\neq 0,c\neq 0,a\neq \frac{1}{c}$

$f(x)=cx^{3}+dx^{2}+ex+f$

$f'(x)=3cx^{2}+2dx+e$

$f''(x)=6cx+2d$

Đặt $\sqrt[3]{ax+b}=3cy+d$

 

BÀI TẬP ÁP DỤNG :

$1$ , $x^{2}+1=\sqrt{x-1}$

$2$ , $x^{2}-2=\sqrt{2-x}$

$3$ , $16x^{2}+10x+1=\sqrt{2x+3}$

$4$ , $3x^{2}+2x+3=\sqrt{4x-5}$

$5$ , $3x^{2}+2x+3=\sqrt{9x-5}$

$6$ , $2x^{2}+4=\sqrt{\frac{x+3}{2}}$

$7$ , $3x^{2}+x-\frac{29}{6}=\sqrt{\frac{12x+61}{36}}$

$8$ , $x^{3}+3x^{2}+3x-1=3.\sqrt[3]{3x+5}$

$9$ , $\sqrt[3]{3x-\frac{63}{8}}=\frac{x^{3}}{3}-\frac{3}{2}x^{2}+\frac{9}{4}x$

$10$ , $\sqrt[3]{81x-8}=x^{3}-2x^{2}+\frac{4}{3}x^{3}-2$

 

P/s : Viết mỏi tay lắm rồi , các bạn nhớ LIKE và đánh giá $5$ sao nhé !!


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi BMT BinU: 28-07-2014 - 17:25


#2 Mikhail Leptchinski

Mikhail Leptchinski

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 703 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Hùng Vương,Phú Thọ
  • Sở thích:Phương trình hệ phương trình,đại số,hình giải tích phẳng.Giao lưu kết bạn trên facebook,nghe nhạc,ước mơ dạy học,...

Đã gửi 28-07-2014 - 17:37

Mình xin khởi động nha

1.Điều kiện $x\geq 1$$x\geq 1$

Đặt $\sqrt{x-1}=a(a\geq 0)$

Ta có hệ sau:$\left\{\begin{matrix}x^2+1=a & & \\ a^2+1=x & & \end{matrix}\right.$

Đây là hệ đối xứng loại 2 rồi tự giải tiếp được nhé  :icon6:

 

Bài viết hay nên mong mọi người ủng hộ topic này


Chính trị chỉ cho hiện tại,nhưng phương trình là mãi mãi

(Albert Einstein)
Đường đi không khó vì ngăn sông cách núi,mà khó vì lòng người ngại núi e sông




Đừng xấu hổ khi không biết ,chỉ xấu hổ khi không học

Các bạn ủng hộ kỹ thuật tìm điểm rơi trong chứng minh bất đẳng thức nhé
:icon12: :icon12: Tại đây :icon12: :icon12:

#3 Khoai Lang

Khoai Lang

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 95 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Chuyên Lương Thế Vinh, Đồng Nai
  • Sở thích:MthIT

Đã gửi 28-07-2014 - 18:33

$2$ , $x^{2}-2=\sqrt{2-x}$

ĐK $x\leq 2$

Đặt $t= \sqrt{2-x}$ $(t\geq 2)$ thì ta có hệ sau:

$\left\{\begin{matrix} x^2-2=t & \\t^2-2=-x & \end{matrix}\right. PT(1)-PT(2) \Rightarrow (x+t)(x-t+1)=0 \Leftrightarrow \begin{bmatrix} x+t=0 & \\ x-t+1=0 & \end{bmatrix}$
Đến đây là OK rồi  :icon6:

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Khoai Lang: 29-07-2014 - 11:22


#4 Viet Hoang 99

Viet Hoang 99

    $\textbf{Trương Việt Hoàng}$

  • Điều hành viên THPT
  • 2285 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\textrm{12A12 THPT Nguyễn Du}$ $\textrm{†hái Bình}$
  • Sở thích:$\color{blue}{\boxed{\boxed{\rightarrow \bigstar \textrm{๖ۣۜMa†hs} \bigstar \leftarrow }}}$

Đã gửi 28-07-2014 - 19:10

Tình hình là phương pháp này có ở đâyđây rồi!

 

 

 

BÀI TẬP ÁP DỤNG :

$2$ , $x^{2}-2=\sqrt{2-x}$

 

 

$2)$

Đây là dạng $2$

$f(x)=x^2-2$

$f'(x)=2x$
Đặt $\sqrt{2-x}=2y$
Sao không ra $y^2-2=2x$ nhỉ anh?


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Viet Hoang 99: 03-11-2015 - 22:01


#5 Rias Gremory

Rias Gremory

    Del Name

  • Thành viên
  • 1368 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:♥•.:.ღ ๖ۣۜBờm & L.๖ۣۜCún's House ღ.:.•♥
  • Sở thích:╔♫═╗╔╗ ♥
    ╚╗╔╝║║♫═╦╦╦╔╗
    ╔╝╚╗♫╚╣║║║║╔╣
    ╚═♫╝╚═╩═╩♫╩═╝

Đã gửi 28-07-2014 - 19:29

Tình hình là phương pháp này có ở đâyđây rồi!

 

Và em cũng ghi vào TOPIC này rồi

 

Nhưng đạo hàm hay hay nên em làm luôn mấy bài tập nhé :)

 

 

 

$2)$

Đây là dạng $2$

$f(x)=x^2-2$

$f'(x)=2x$
Đặt $\sqrt{2-x}=2y$
Sao không ra $y^2-2=2x$ nhỉ anh?

Cái chỗ $f'(x)$ phải rút gọn các hệ số hết nhé . $f'(x)=2x+0$ thì có thể chia cho $2$ để đặt $\sqrt{2-x}=y$



#6 Mikhail Leptchinski

Mikhail Leptchinski

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 703 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Hùng Vương,Phú Thọ
  • Sở thích:Phương trình hệ phương trình,đại số,hình giải tích phẳng.Giao lưu kết bạn trên facebook,nghe nhạc,ước mơ dạy học,...

Đã gửi 29-07-2014 - 11:15

 

ĐK $x\leq 2$

Đặt $t= \sqrt{2-x}$ $(t\geq 2)$ thì ta có hệ sau:

$\left\{\begin{matrix} x^2-2=t & \\t^2-2=-x & \end{matrix}\right. PT(1)-PT(2) \Rightarrow (x-t)(x+t+1)=0 \Leftrightarrow \begin{bmatrix} x-t=0 & \\ x+t+1=0 & \end{bmatrix}$
Đến đây là OK rồi  :icon6:

 

Lời giải của bạn nhầm rồi

Sau khi trừ 2 về ta có:$x^2-t^2=t+x$

chỗ này là đặt $t+x$ ra ngoài mà

Đây chưa hẳn là đối xứng loại 2


Chính trị chỉ cho hiện tại,nhưng phương trình là mãi mãi

(Albert Einstein)
Đường đi không khó vì ngăn sông cách núi,mà khó vì lòng người ngại núi e sông




Đừng xấu hổ khi không biết ,chỉ xấu hổ khi không học

Các bạn ủng hộ kỹ thuật tìm điểm rơi trong chứng minh bất đẳng thức nhé
:icon12: :icon12: Tại đây :icon12: :icon12:

#7 Rias Gremory

Rias Gremory

    Del Name

  • Thành viên
  • 1368 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:♥•.:.ღ ๖ۣۜBờm & L.๖ۣۜCún's House ღ.:.•♥
  • Sở thích:╔♫═╗╔╗ ♥
    ╚╗╔╝║║♫═╦╦╦╔╗
    ╔╝╚╗♫╚╣║║║║╔╣
    ╚═♫╝╚═╩═╩♫╩═╝

Đã gửi 29-07-2014 - 11:27

 

ĐK $x\leq 2$

Đặt $t= \sqrt{2-x}$ $(t\geq 2)$ thì ta có hệ sau:

$\left\{\begin{matrix} x^2-2=t & \\t^2-2=-x & \end{matrix}\right. PT(1)-PT(2) \Rightarrow (x+t)(x-t+1)=0 \Leftrightarrow \begin{bmatrix} x+t=0 & \\ x-t+1=0 & \end{bmatrix}$
Đến đây là OK rồi  :icon6:

 

 

Lời giải của bạn nhầm rồi

Sau khi trừ 2 về ta có:$x^2-t^2=t+x$

chỗ này là đặt $t+x$ ra ngoài mà

Đây chưa hẳn là đối xứng loại 2

Đặt $\sqrt{2-x}=-t$ mới trở thành hệ đối xứng loại $2$ nhé !!



#8 lahantaithe99

lahantaithe99

    Trung úy

  • Thành viên
  • 882 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:12A1 toán

Đã gửi 29-07-2014 - 22:37

 

 

$5$ , $3x^{2}+2x+3=\sqrt{9x-5}$

$7$ , $3x^{2}+x-\frac{29}{6}=\sqrt{\frac{12x+61}{36}}$

$8$ , $x^{3}+3x^{2}+3x-1=3.\sqrt[3]{3x+5}$

$9$ , $\sqrt[3]{3x-\frac{63}{8}}=\frac{x^{3}}{3}-\frac{3}{2}x^{2}+\frac{9}{4}x$

$10$ , $\sqrt[3]{81x-8}=x^{3}-2x^{2}+\frac{4}{3}x-2$

 

 

 

ĐK : đã xác định 

 

Bài 5:

 

Đặt $\sqrt{9x-5}=3y+1$

 

Khi đó ta có hệ $\left\{\begin{matrix} 9x^2+6x-9y+6=0 & \\ 9y^2+6y-9x+6=0 & \end{matrix}\right.$

 

Đến đây thì ổn rồi

 

Bài 7:

 

Đặt $\sqrt{\frac{12x+61}{36}}=y+\frac{1}{6}$

 

Biến đổi và thu gọn có hệ $\left\{\begin{matrix} 36x^2+12x-12y-60=0 & \\ 36y^2+12y-12x-60=0 & \end{matrix}\right.$

 

Bài 8:

 

Đặt $\sqrt[3]{3x+5}=y+1$

 

Ta có hệ $\left\{\begin{matrix} x^3+3x^2+3x-3y-4=0 & \\ y^3+3y^2+3y-3x-4=0 & \end{matrix}\right.$

 

Bài 9: 

 

Đặt $\sqrt[3]{3x-\frac{63}{8}}=y-\frac{3}{2}$

 

Biến đổi có hệ $\left\{\begin{matrix} x^3-\frac{9x^2}{2}+\frac{27x}{4}-3y+\frac{9}{2}=0 & \\ y^3-\frac{9y^2}{2}+\frac{27y}{4}-3x+\frac{9}{2}=0 & \end{matrix}\right.$

 

Bài 10:

 

Đặt $\sqrt[3]{81x-8}=3y-2$

 

Có hệ $\left\{\begin{matrix} 27x^3-54x^2+36x-81y=0 & \\ 27y^2-54y^2+36y-81x=0 & \end{matrix}\right.$



#9 Coppy dera

Coppy dera

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 290 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Sơn Trung-Hương Sơn-Hà Tĩnh

Đã gửi 01-11-2015 - 08:42

topic hay mà bị lãng quên mất rồi


Like đi  :like  :like  :like  :like  :like  :like  :like  :like  :like  :like  :like  :like  :like  :like 

 

Kết bạn qua facebook https://www.facebook.com/tqt2001


#10 Element hero Neos

Element hero Neos

    Trung úy

  • Thành viên
  • 812 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\fbox{A1K20 CVP}$
  • Sở thích:LOL & COC

Đã gửi 16-11-2015 - 21:14

11/ 

$x^{3}-1=3\sqrt{x-1}$


ninja.gif


#11 quanguefa

quanguefa

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 591 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Quảng Ngãi
  • Sở thích:Toán học,Vật lý lý thuyết, âm nhạc,thể thao, phim.

Đã gửi 20-11-2015 - 20:00

Góp vài bài:

Bài 12: $2x^{2}-4x+3=\sqrt{\frac{8x^{2}-15x+9}{2}}$

Bài 13: $\sqrt{4-3\sqrt{10-3x}}=x-2$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi quanguefa: 20-11-2015 - 20:01

Xem topic "Chuyên đề các bài Toán lãi suất Casio" tại đây

 

:like Visit my facebook


#12 quanguefa

quanguefa

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 591 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Quảng Ngãi
  • Sở thích:Toán học,Vật lý lý thuyết, âm nhạc,thể thao, phim.

Đã gửi 20-11-2015 - 20:04

Bài 14: $\sqrt[3]{81x-8}=x^{3}-2x^{2}+\frac{4}{3}x-2$

Bài 15: $x^{2}-4x+\sqrt{2x+5}=0$

Bài 16: $8x^{3}+53x=36x^{2}+\sqrt[3]{3x-5}+25$


Xem topic "Chuyên đề các bài Toán lãi suất Casio" tại đây

 

:like Visit my facebook


#13 The flower

The flower

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 50 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:THPT Chuyên Lê Qúy Đôn - Đà Nẵng

Đã gửi 11-08-2016 - 14:33

Góp vài bài:

Bài 13: $\sqrt{4-3\sqrt{10-3x}}=x-2$

Đặt a=$\sqrt{10-3x}$$\geqslant 0$

Tìm ĐK rồi bình phương 2 vế ta được

a2-9a+8=0=>a=1 hoặc a=8=>x=3 (xét ĐKXĐ)


     (~~)  (~~)  (~~) Mỗi người luôn đúng theo cách của riêng mình  >:)  >:)  >:) 


#14 Chucnguyenthi

Chucnguyenthi

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 6 Bài viết

Đã gửi 05-09-2016 - 21:07

tìm gt của m để pt sau có nghiệm  $\sqrt{1+x}+\sqrt{8-x}+\sqrt{(1+x)(8-x)}=m$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Chucnguyenthi: 05-09-2016 - 21:07





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh