Chào các bạn,trong thời gian vừa qua mình thấy trên diễn đàn toán khá nhiều bạn hỏi những bài toán về kỹ thuật chọn điểm rơi.Vì vậy hôm nay mình mở ra topic này để mọi người tìm hiểu và học thêm nhiều kiến thức.Kỹ thuật chọn điểm rơi hay còn gọi là cân bằng hệ số thường được dùng rất hay trong các kỳ thi học sinh giỏi,kỳ thi tuyển sinh vào cấp 3
Sau đây,các bạn hãy đến với những ví dụ đầu tiên
Ví dụ 1:
Cho $x\geq 1$.Tìm min của biểu thức:$P=3x+\frac{1}{2x}$
Chắc chắn gặp bài toán này nhiều bạn sẽ giải như sau:
Áp dụng bất đẳng thức cô si có:$P\geq 2\sqrt{3x.\frac{1}{2x}}=2.\sqrt{\frac{3}{2}}$
Dấu bằng xảy ra:$3x=\frac{1}{2x}$ từ đó giải được $x=\frac{1}{\sqrt{6}}$ nhưng lại không thỏa mãn điều kiện $x\geq 1$
Vì thế chúng ta không thể kết luận được min của biểu thức
Ví dụ 2:
Cho $a,b,c>0$.Tìm giá trị nhỏ nhất của
$p=\frac{b+c}{a}+\frac{a+c}{b}+\frac{a+b}{c}+\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}$
Lời giải
Áp dụng bất đẳng thức cô si có:$P\geq 2+2+2=6$
Nhưng lúc nhìn lại dấu bằng lại không có bội nào thỏa mãn
Qua đó,nhiều bạn sẽ đặt ra câu hỏi làm bài toán trên như thế nào
Xin quay trở lại ví dụ 1
Ta có:$P=3x+\frac{1}{2x}$
Lời giải của sách:
Ta cân bằng hệ số $3=k+(3-k)$
Vơi 0<$k<3$ ta sẽ có biểu thức viết lại như sau
$P=(3-k)x+kx+\frac{1}{2x}$
Đến đây sử dụng bất đẳng thức cô si ta được $(3-k)x\geq 3-k,kx+\frac{1}{2x}\geq 2\sqrt{\frac{k}{2}}$
Suy ra $p\geq 3-k+\sqrt{2k}$
Xét dấu bằng xảy ra:$\left\{\begin{matrix}x=1 & & \\ kx=\frac{1}{2x} & & \end{matrix}\right.$
$<=>k=\frac{1}{2}$
Với $k=\frac{1}{2}$ là số thích hợp
Thay vào ta có:$P\geq 3-\frac{1}{2}+\sqrt{2.\frac{1}{2}}=\frac{7}{2}$.Dấu bằng xảy ra tại $x=1$
Ta thay vào thỏa mãn đề bài.Bài toán như vậy đã được giải quyết
Chắc chắn khi đọc lời giải này nhiều bạn sẽ không hiểu tại sao lại giải như vậy.Vì vậy tớ sẽ làm theo ý hiểu của riêng mình,mong là mọi người dễ hiểu hơn
Trước hết ta đi phân tích ở một số giả thiết.Vì đề bài ra là $x\geq 1$ nên việc sơ cấp đầu tiên là mọi người đều nghĩ ra là dấu bằng xảy ra khi $x=1$
Gọi $y$ là số ta định chọn điểm rơi
Ta biết dấu bằng xảy ra tại $3x=y.\frac{1}{2x}$
mà ở trên dự đoán $x=1$ nên thay vào tính được $y=6$
Từ đó lời giải hoàn chỉnh là
Ta có $P=3x+\frac{1}{2x}=3x+\frac{6}{2x}-\frac{5}{2x}\geq 2.\sqrt{3x.\frac{6}{2x}}-\frac{5}{2x}=6-\frac{5}{2x}$
Mà $x\geq 1$ nên $2x\geq 2$
hay $\frac{5}{2x}\leq \frac{5}{2}$(vì $2x>0$)
suy ra $-\frac{5}{2x}\geq -\frac{5}{2}$
Từ đó:$P\geq 6-\frac{5}{2}=\frac{7}{2}$
Dấu bằng xảy ra tại $x=1$
Đáp số vẫn ra như trên nhưng cách giải của mình hoàn toàn khác
Ta quay trở lại vídụ 2
Theo lời giải của mình và cách tách như mình nhé:
Ta có dấu bằng xảy ra:$k\frac{b+c}{a}=\frac{a}{b+c}$
Dự đoán $a=b=c$ nên ta chọn được $k=\frac{1}{4}$
Từ đó:Áp dụng bất đẳng thức cô si có
$\frac{1}{4}\frac{b+c}{a}+\frac{a}{b+c}\geq 2\sqrt{\frac{1}{4}}=1$
Tương tự ta có:
$P\geq 3+\frac{3}{4}(\frac{b+c}{a}+\frac{a+c}{b}+\frac{a+b}{c})$
Trong ngoặc ta sẽ dễ dàng chứng minh $\geq 6$
Ta có:$P\geq 3+\frac{3}{4}.6=\frac{15}{2}$
Dấu bằng xảy ra $a=b=c$
Trên là những bài toán rất dễ dự đoán dấu bằng ,mình xin nêu một số bài toán khó dự đoán dấu bằng
Xét ví dụ sau
Ví dụ 3:
Cho $x,y,z>0$ thỏa mãn $xy+yz+xz=1$.Chứng minh:
A=$10x^2+10y^2+z^2\geq 4$
Một số bạn dự đoán dấu bằng tại $x=y=z$ nhưng lại không thỏa mãn đề bài
Lời giải
Áp dụng bất đẳng thức cô si có:
$2x^2+2y^2\geq 4xy$
$8x^2+\frac{1}{2}z^2\geq 4xz$
$8y^2+\frac{1}{2}z^2\geq 4yz$
Đến đây có
$A\geq 4(xy+yz+xz)=4$.Dấu bằng xảy ra
$\left\{\begin{matrix}x=y & & \\ 4x=z & & \\ 4y=z & & \end{matrix}\right.$
hay $\left\{\begin{matrix}x=y=\frac{1}{3} & & \\ z=\frac{4}{3} & & \end{matrix}\right.$
Bài toán tuy lời giải rất đơn giản nhưng ai nghĩ ra được dấu bằng như vậy không.Theo mình những bài trên đã là những bài rất hay và khó rồi,mình không rõ lời giải tổng quát bài toán.
Bài toán trên sẽ khó hơn nếu đề ra là
Tìm min:$A=10x^2+10y^2+z^2$ vì dấu bằng xảy ra không tại x=y=z
Qua các bài toán trên,mình mong các bạn sẽ hiểu rõ hơn về kỹ thuật này.Bài viết này không tránh khỏi những chỗ sai nên mong các bạn góp ý cho topic.Mong các bạn ủng hộ topic mình nhé.Mình xin cảm ơn!
Dưới đây là bài tập vận dụng.Mình sẽ post từ dễ đến khó những bài khó mình sẽ tô màu đỏ.Mong các bạn làm hết rồi sẽ post bài khác kẻo tràn bài toán trên topic
1,Cho $a\geq 2$.Tìm min $A=2a+\frac{1}{a}$
2,Cho $a,b,c>0$,$a+b+c=2$.Tìm min:$P=\sum \sqrt{a^2+\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}}$
3,Cho các số thực $a,b$ thỏa mãn:$0\leq a\leq 3$ và $a+b=11$.Tìm max $P=ab$
4.Cho ${\color{Red}a,b,c>0 }$ và ${\color{Red} a+b+c=1}$.Tìm max ${\color{Red} P=a+\sqrt{ab}+\sqrt[3]{abc}}$
5,Cho ${\color{Red} x,y\geq 0}$ thỏa mãn:${\color{Red} x^2+y^2=5}$.Tìm min:${\color{Red} P=x^3+y^6}$
6,Cho ${\color{Red} x,y,z\geq 0}$ và ${\color{Red} x+y+z=3}$.Tìm min ${\color{Red} P=x^4+2y^4+3z^4}$