Chứng minh rằng $sinA+sinB+\sqrt{6}sinC\leq \frac{5\sqrt{10}}{4}$
$sinA+sinB+\sqrt{6}sinC\leq \frac{5\sqrt{10}}{4}$
#1
Đã gửi 31-07-2014 - 13:40
#2
Đã gửi 23-08-2014 - 22:12
Chứng minh rằng $sinA+sinB+\sqrt{6}sinC\leq \frac{5\sqrt{10}}{4}$
Lời giải :
$\sin A +\sin B +\sqrt{6}.\sin C \\ =2.\sin \frac{A+B}{2}.\cos \frac{A-B}{2}+ \sqrt{6}.\sin C\\ = 2.\cos \frac{C}{2}\cos \frac{A-B}{2}+\sqrt{6}.\sin C$
Ta có :$C \in (0;\pi)\Rightarrow 0 \leq \frac{C}{2}\leq \frac{\pi}{2}\Rightarrow \cos \frac{C}{2} >0\\$
Suy ra :$2.\cos \frac{C}{2}.\cos \frac{A-B}{2}+\sqrt{6}.\sin C\leq 2.\cos \frac{C}{2}+\sqrt{6}.\sin C$
Khảo sát hàm số $f(x)=2\cos \frac{x}{2}+ \sqrt{6}.\sin x, x\in\left [ 0;\pi \right ]\\ f'(x)=-\sin \frac{x}{2}+\sqrt{6}.\cos x=-2\sqrt{6}.\sin ^{2} \frac{x}{2}+\sin \frac{x}{2} +\sqrt{6}\\ f'(x)=0\Leftrightarrow \sin \frac{x}{2}=\frac{\sqrt{6}}{4}=\sin \frac {x_{0}}{2} (x_{0}=2\arcsin \frac{\sqrt{6}}{4})\\ (x\in [0;\pi] \rightarrow \sin \frac{x}{2} >0)$
Nếu $f'(x) >0\Leftrightarrow \sin \frac{x}{2}<\sin \frac{x_{0}}{2}\Leftrightarrow x<x_{0} (x \in (0;\frac{\pi}{2}))\\$
Suy ra $f(x) \leq \frac{5\sqrt{10}}{4}.$ Do đó $\sin A +\sin B +\sqrt{6}.\sin C \leq \frac{5\sqrt{10}}{4}.$
Dấu bằng xảy ra khi
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi caybutbixanh: 23-08-2014 - 22:14
KẺ MẠNH CHƯA CHẮC ĐÃ THẮNG
MÀ KẺ THẮNG MỚI CHÍNH LÀ KẺ MẠNH!.
(FRANZ BECKEN BAUER)
ÔN THI MÔN HÓA HỌC TẠI ĐÂY.
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh