Chủ đề này có 1 trả lời

[Ispectorgadget]

Cho $u_0,u_1,u_2,...$ là dãy Fibonacci. Chứng minh rằng $$u_n^3+u_{n+1}^3-u_{n-1}^3=u_{3n},n=1,2,...$$

[quangbinng]

Cho $u_0,u_1,u_2,...$ là dãy Fibonacci. Chứng minh rằng $$u_n^3+u_{n+1}^3-u_{n-1}^3=u_{3n},n=1,2,...$$

  Ta có công thức của dãy Fibonaci là $u_n=\frac{1}{\sqrt{5}}(a^n-b^n)$ trong đó $a=\frac{1+\sqrt{5}}{2},b=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$

 

Từ đây ta có : $u_n^3=\frac{1}{5\sqrt{5}}(a^{3n}-b^{3n}-3a^nb^n(a^n-b^n))=\frac{1}{5}(u_{3n}-3(-1)^n.u_n$)

 

Suy ra :

 

$u_n^3+u_{n+1}^3-u_{n-1}^3=\frac{1}{5} (u_{3n}+u_{3n+3}-u_{3n-3})-\frac{3}{5}[ (-1)^n u_n+(-1)^{n+1}u_{n+1}-(-1)^{n-1}u_{n-1})$

$=\frac{1}{5} (u_{3n}+u_{3n+3}-u_{3n-3})$

 

Đến đây ta chỉ cần chứng minh $u_{3n+3}-u_{3n-3}=4u_{3n}$ .

 

Thật vậy

$u_{3n+3}-u_{3n-3}=u_{3n+2}+u_{3n+1}-u_{3n-3}$

$=(u_{3n+1}+u_{3n})+(u_{3n}+u_{3n-1})-u_{3n-3}=2u_{3n}+u_{3n+1}+(u_{3n-1}-u_{3n-3})$

$=2u_{3n}+(u_{3n}+u_{3n-1})+u_{3n-2}=3u_{3n}+(u_{3n-1}+u_{3n-2})=4u_{3n}$

 

Vậy ta đã có đpcm
 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi quangbinng: 13-08-2014 - 16:37