5. Các bài tập về tích vô hướng
$49)$ Cho tam giác $ABC$ với $G$ là trọng tâm . Chứng minh rằng :
a. $GA^2+GB^2+GC^2=\dfrac{1}{3}(a^2+b^2+c^2)$
b. Với mọi điểm $M$ thì $MA^2+MB^2+MC^2=3MG^2+GA^2+GB^2+GC^2$
$50)$ Cho tam giác $ABC$ với $H$ là trực tâm, $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp,$G$ là trọng tâm . Chứng minh rằng :
a. $OH^2=9R^2-a^2-b^2-c^2$
b. $OG^2=\dfrac{1}{3}(OA^2+OB^2+OC^2)-\dfrac{1}{9}(a^2+b^2+c^2)$
49)
a)
$$\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=0$$
$$\Leftrightarrow GA^2+GB^2+GC^2+2\sum \overrightarrow{GA}.\overrightarrow{GB}=0$$
$$\Leftrightarrow 3\sum GA^2=\sum \left ( \overrightarrow{GA}-\overrightarrow{GB} \right )^2=\sum AB^2$$
$$\Rightarrow \sum GA^2=\frac{1}{3}(a^2+b^2+c^2)$$
b)
$\sum MA^2=\sum \left ( \overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GA} \right )^2=3MG^2+\sum GA^2+2\sum \overrightarrow{MG}\left ( \overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC} \right )=3MG^2+\sum GA^2$
50)
a) http://diendantoanho...2-9r2-a2-b2-c2/
b)
$\sum \overrightarrow{OA}=3\overrightarrow{OG}$
Hay $OG^2-R^2=-\frac{1}{9}(a^2+b^2+c^2)$ (phương tích của trọng tâm)
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Viet Hoang 99: 23-11-2014 - 13:33