Chủ đề này có 8 trả lời

[terencetao25]

 Có bao nhiêu nghiệm tự nhiên của pt :a) x+2y+3z=2014

                                                               b) x+y+z=n(x$\geq y\geq z$)

[Rias Gremory]

 Có bao nhiêu nghiệm tự nhiên của pt :a) x+2y+3z=2014

TQ của bài $a$

[Kool LL]

TQ của bài $a$

 

Công thức trong tài liệu chỉ có TH 2 ẩn, không có 3 ẩn. Còn trong trang web thì công thức $D_n=\left\lfloor\frac{(n+3)^2}{12}\right\rfloor$ sai rồi.

Công thức đúng phải là $D_n=\left\lfloor\frac{(n+3)^2+3}{12}\right\rfloor$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Kool LL: 11-09-2014 - 23:25

[Kool LL]

 Có bao nhiêu nghiệm tự nhiên của pt :

a) x+2y+3z=2014

 

Tổng quát hoá bài toán : $x+2y+3z=n$ (*)

 

Bổ đề : $\text{Với }|a|<1\text{ thì }\sum_{i=0}^{\infty}a^i=\lim_{n\to\infty}\sum_{i=0}^{n}a^i=\lim_{n\to\infty}(1+a+a^2+...+a^n)=\lim_{n\to\infty}\frac{1-a^{n+1}}{1-a}=\frac{1}{1-a}$

 

Dùng PP hàm sinh :

Xét $|a|<1$ và $f(a)=\left(\sum_{x=0}^{\infty}a^x\right)\left(\sum_{y=0}^{\infty}a^{2y}\right)\left(\sum_{z=0}^{\infty}a^{3z}\right)$$=\sum_{x=0,y=0,z=0}^{\infty}A_{x,y,z}.a^{x+2y+3z}=\sum_{n=0}^{\infty}A_n.a^n$ (1)

Ta thấy số nghiệm của pt(*) tương ứng chính là hệ số $A_n$ của $a^n$ trong khai triển $f(a)$

Mặt khác :

$f(a)=\frac{1}{1-a}.\frac{1}{1-a^2}.\frac{1}{1-a^3}=\frac{1}{(1-a)^3(1+a)(1+a+a^2)}$$=\frac{\frac{1}{8}}{1+a}+\frac{\frac{17}{72}}{1-a}+\frac{\frac{1}{4}}{(1-a)^2}+\frac{\frac{1}{6}}{(1-a)^3}+\frac{\frac{1}{9}(2+a)}{1+a+a^2}$

Mà ta có các khai triển sau (Maclaurin):

$\frac{1}{(1-a)^m}=(1-a)^{-m}=\sum_{k=0}^{\infty}\binom{-m}{k}(-1)^ka^k=\sum_{k=0}^{\infty}C_{k+m-1}^{m-1}a^k$

$\frac{1}{1+a+a^2}=(1-a).\frac{1}{1-a^3}=(1-a).\sum_{k=0}^{\infty}a^{3k}=\sum_{k=0}^{\infty}(a^{3k}-a^{3k+1})$

$\frac{2+a}{1+a+a^2}=(2+a)\sum_{k=0}^{\infty}(a^{3k}-a^{3k+1})=\sum_{n=0}^{\infty}(2a^{3k}-a^{3k+1}-a^{3k+2})$

Suy ra

$f(a)=\frac{1}{8}\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^na^n+\frac{17}{72}\sum_{n=0}^{\infty}a^n+\frac{1}{4}\sum_{n=0}^{\infty}(n+1)a^n+\frac{1}{6}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(n+1)(n+2)}{2}a^n$$+\frac{1}{9}\sum_{k=0}^{\infty}(2a^{3k}-a^{3k+1}-a^{3k+2})$ (2)

 

Đồng nhất các hệ số của $a^n$ trong (1) và (2), ta có :

$\boxed{}$ Nếu $n=3k$ thì $A_n=\frac{(-1)^{3k}}{8}+\frac{17}{72}+\frac{3k+1}{4}+\frac{(3k+1)(3k+2)}{12}+\frac{2}{9}=\frac{3(-1)^k+21+36k+18k^2}{24}$

$\boxed{}$ Nếu $n=3k+1$ thì $A_n=\frac{(-1)^{3k+1}}{8}+\frac{17}{72}+\frac{3k+2}{4}+\frac{(3k+2)(3k+3)}{12}-\frac{1}{9}=\frac{3(-1)^{k+1}+27+48k+18k^2}{24}$

$\boxed{}$ Nếu $n=3k+2$ thì $A_n=\frac{(-1)^{3k+2}}{8}+\frac{17}{72}+\frac{3k+3}{4}+\frac{(3k+3)(3k+4)}{12}-\frac{1}{9}=\frac{3(-1)^{k}+45+60k+18k^2}{24}$

 

Vậy :

$\boxed{}$ Nếu $n=3k,k=2t$ tức $n=6t$ thì $A_n=\frac{24+72t+72t^2}{24}=1+3t+3t^2=\frac{(n+3)^2+3}{12}=\left\lfloor\frac{(n+3)^2+3}{12}\right\rfloor$

$\boxed{}$ Nếu $n=3k,k=2t+1$ tức $n=6t+3$ thì $A_n=\frac{72+144t+72t^2}{24}=3+6t+3t^2=\frac{(n+3)^2}{12}=\left\lfloor\frac{(n+3)^2+3}{12}\right\rfloor$

$\boxed{}$ Nếu $n=3k+1,k=2t$ tức $n=6t+1$ thì $A_n=\frac{24+96t+72t^2}{24}=1+4t+3t^2=\frac{(n+3)^2-4}{12}=\left\lfloor\frac{(n+3)^2+3}{12}\right\rfloor$

$\boxed{}$ Nếu $n=3k+1,k=2t+1$ tức $n=6t+4$ thì $A_n=\frac{96+168t+72t^2}{24}=4+7t+3t^2=\frac{(n+3)^2-1}{12}=\left\lfloor\frac{(n+3)^2+3}{12}\right\rfloor$

$\boxed{}$ Nếu $n=3k+2,k=2t$ tức $n=6t+2$ thì $A_n=\frac{48+120t+72t^2}{24}=2+5t+3t^2=\frac{(n+3)^2-1}{12}=\left\lfloor\frac{(n+3)^2+3}{12}\right\rfloor$

$\boxed{}$ Nếu $n=3k+2,k=2t+1$ tức $n=6t+5$ thì $A_n=\frac{120+192t+72t^2}{24}=5+8t+3t^2=\frac{(n+3)^2-4}{12}=\left\lfloor\frac{(n+3)^2+3}{12}\right\rfloor$

 

Tóm lại Số nghiệm tự nhiện của pt $x+2y+3z=n$ là $A_n=\left\lfloor\frac{(n+3)^2+3}{12}\right\rfloor$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Kool LL: 11-09-2014 - 23:32

[Kool LL]

 Có bao nhiêu nghiệm tự nhiên của pt :

b) $x+y+z=n\ (x\geq y\geq z)$ (1)

 

Bổ đề : $\boxed{\text{Số nghiệm tự nhiên của pt }x_1+2x_2+3x_3=n\text{ là }A_n=\left\lfloor\frac{(n+3)^2+3}{12}\right\rfloor}$

 

Do $x\ge y\ge z$ nên $\exists u=y-z\in\mathbb{N}\ ;\ v=x-y\in\mathbb{N}$. Suy ra $y=u+z\ ;\ x=u+y=u+v+z$.

Thay vào (1), pt trở thành : $u+2v+3z=n$ (2)

Số nghiệm tự nhiên của pt (1) = Số nghiệm tự nhiên của pt (2) = $A_n=\left\lfloor\frac{(n+3)^2+3}{12}\right\rfloor$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Kool LL: 11-09-2014 - 23:42

[Kool LL]

 Có bao nhiêu nghiệm tự nhiên của pt :

b) $x+y+z=n\ (x\geq y\geq z)$ (1)

 

Cách 2 :

(gt) $\Rightarrow 0\le z\le\left\lfloor\frac{n}{3}\right\rfloor$

Với mỗi giá trị của $z$ thoả, thì pt (1) trở thành : $x+y=n-z\ (x\ge y\ge z)$ (2)

Từ (2) $\Rightarrow z\le y\le\left\lfloor\frac{n-z}{2}\right\rfloor$ nên (2) có số nghiệm bằng $\left\lfloor\frac{n-z}{2}\right\rfloor-z+1$

Suy ra số nghiệm pt (1) bằng $A_n=\sum_{z=0}^{\left\lfloor\frac{n}{3}\right\rfloor}\left(\left\lfloor\frac{n-z}{2}\right\rfloor-z+1\right)$$=\sum_{z=0}^{\left\lfloor\frac{n}{3}\right\rfloor}\left\lfloor\frac{n-z}{2}\right\rfloor-\sum_{z=2}^{\left\lfloor\frac{n}{3}\right\rfloor-1}z$$=\sum_{i=n-\left\lfloor\frac{n}{3}\right\rfloor}^{n}\left\lfloor\frac{i}{2}\right\rfloor-\frac{\left(\left\lfloor\frac{n}{3}\right\rfloor-1\right)\left\lfloor\frac{n}{3}\right\rfloor}{2}+1$

Mà :

$\sum_{i=1}^{k}\left\lfloor\frac{i}{2}\right\rfloor=\sum_{\begin{matrix}1\le i=2j\le k \\ 1\le j\le\left\lfloor\frac{k}{2}\right\rfloor\end{matrix}}j+\sum_{\begin{matrix}1\le i=2j+1\le k \\ 0\le j\le\left\lfloor\frac{k-1}{2}\right\rfloor\end{matrix}}j$$=\frac{\left\lfloor\frac{k}{2}\right\rfloor.\left(\left\lfloor\frac{k}{2}\right\rfloor+1\right)}{2}+\frac{\left\lfloor\frac{k-1}{2}\right\rfloor.\left(\left\lfloor\frac{k-1}{2}\right\rfloor+1\right)}{2}$

$\sum_{i=n-\left\lfloor\frac{n}{3}\right\rfloor}^{n}\left\lfloor\frac{i}{2}\right\rfloor$$=\sum_{i=1}^{n}\left\lfloor\frac{i}{2}\right\rfloor-\sum_{i=1}^{n-\left\lfloor\frac{n}{3}\right\rfloor-1}\left\lfloor\frac{i}{2}\right\rfloor$

$=\frac{\left\lfloor\frac{n}{2}\right\rfloor.\left(\left\lfloor\frac{n}{2}\right\rfloor+1\right)}{2}+\frac{\left\lfloor\frac{n-1}{2}\right\rfloor.\left(\left\lfloor\frac{n-1}{2}\right\rfloor+1\right)}{2}$$-\frac{\left\lfloor\frac{n-\left\lfloor\frac{n}{3}\right\rfloor-1}{2}\right\rfloor.\left(\left\lfloor\frac{n-\left\lfloor\frac{n}{3}\right\rfloor-1}{2}\right\rfloor+1\right)}{2}-\frac{\left\lfloor\frac{n-\left\lfloor\frac{n}{3}\right\rfloor-2}{2}\right\rfloor.\left(\left\lfloor\frac{n-\left\lfloor\frac{n}{3}\right\rfloor-2}{2}\right\rfloor+1\right)}{2}$

Suy ra

$A_n=\frac{\left\lfloor\frac{n}{2}\right\rfloor.\left(\left\lfloor\frac{n}{2}\right\rfloor+1\right)}{2}+\frac{\left\lfloor\frac{n-1}{2}\right\rfloor.\left(\left\lfloor\frac{n-1}{2}\right\rfloor+1\right)}{2}$$-\frac{\left\lfloor\frac{n-\left\lfloor\frac{n}{3}\right\rfloor-1}{2}\right\rfloor.\left(\left\lfloor\frac{n-\left\lfloor\frac{n}{3}\right\rfloor-1}{2}\right\rfloor+1\right)}{2}-\frac{\left\lfloor\frac{n-\left\lfloor\frac{n}{3}\right\rfloor-2}{2}\right\rfloor.\left(\left\lfloor\frac{n-\left\lfloor\frac{n}{3}\right\rfloor-2}{2}\right\rfloor+1\right)}{2}$$-\frac{\left(\left\lfloor\frac{n}{3}\right\rfloor-1\right)\left\lfloor\frac{n}{3}\right\rfloor}{2}+1$

 

$\boxed{}$ $n=6k$ thì $A_n=3k^2+3k+1=\frac{(n+3)^2+3}{12}=\left\lfloor\frac{(n+3)^2+3}{12}\right\rfloor$

$\boxed{}$ $n=6k+1$ thì $A_n=3k^2+4k+1=\frac{(n+3)^2-4}{12}=\left\lfloor\frac{(n+3)^2+3}{12}\right\rfloor$

$\boxed{}$ $n=6k+2$ thì $A_n=3k^2+5k+2=\frac{(n+3)^2-1}{12}=\left\lfloor\frac{(n+3)^2+3}{12}\right\rfloor$

$\boxed{}$ $n=6k+3$ thì $A_n=3k^2+6k+3=\frac{(n+3)^2}{12}=\left\lfloor\frac{(n+3)^2+3}{12}\right\rfloor$

$\boxed{}$ $n=6k+4$ thì $A_n=3k^2+7k+4=\frac{(n+3)^2-1}{12}=\left\lfloor\frac{(n+3)^2+3}{12}\right\rfloor$

$\boxed{}$ $n=6k+5$ thì $A_n=3k^2+8k+5=\frac{(n+3)^2-4}{12}=\left\lfloor\frac{(n+3)^2+3}{12}\right\rfloor$

 

Tóm lại $A_n=\left\lfloor\frac{(n+3)^2+3}{12}\right\rfloor$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Kool LL: 12-09-2014 - 02:21

[hxthanh]

Khiếp! Sao mà nhiều cách thế!

Công thức trong tài liệu chỉ có TH 2 ẩn, không có 3 ẩn. Còn trong trang web thì công thức $D_n=\left\lfloor\frac{(n+3)^2}{12}\right\rfloor$ sai rồi.
Công thức đúng phải là $D_n=\left\lfloor\frac{(n+3)^2+3}{12}\right\rfloor$

Em đọc tài liệu không cẩn thận rồi! Người ta viết là $D_n=\left\lfloor\frac{(n+3)^2}{12}\right\rceil$
và có chú thích một cách cẩn thận là $\lfloor x\rceil$ là số nguyên gần $x$ nhất. Như vậy thực tế thì $\lfloor x\rceil=\left\lfloor x+\frac{1}{2}\right\rfloor$ và đáp án đưa ra đâu có gì sai?
Tôi có một cách làm tương tự như bài MO09, không biết các bạn thấy thế nào?

Xét bài toán: Đếm số nghiệm của $\begin{cases}1\leq a<b<c \qquad (1)\\ a+b+c=n\end{cases}$
Việc đếm của ta là tìm các bộ nguyên dương sắp thứ tự $(a,b,c)$ thỏa mãn phương trình trên. Trong khi bài toán chia kẹo Euler lại tính tới các hoán vị của bộ nghiệm, thậm chí các giá trị $a,b,c$ có thể bằng nhau. Căn cứ vào đó ta sẽ dùng phương pháp bao gồm-loại trừ để đếm.
Gọi các tập hợp
\begin{align*}
S&=\{(a,b,c)\quad|\quad a+b+c=n;\; a,b,c\in\mathbb N^*\}\\
S_0&=\{(a,b,c)\quad|\quad a+b+c=n;\;a\neq b\neq c\neq a;\; a,b,c\in\mathbb N^*\}\\
S_2&=\{(a,a,b)\quad|\quad a+a+b=n;\; a,b\in\mathbb N^*\}\\
S_3&=\{(a,a,a)\quad|\quad a+a+a=n;\; a\in\mathbb N^*\}
\end{align*}
Như vậy ta có số bộ ba số khác nhau $(a,b,c)$ thỏa mãn (1) là $|S_0|=|S|-3|S_2|+2|S_3|\quad $ (theo nguyên lý bao gồm-loại trừ)
Dễ dàng tính được
$|S|=C_{n-1}^2=\frac{(n-1)(n-2)}{2}$ (bài toán kẹo Euler)
Ta có: $2a+b=n\Rightarrow 1\le a=\frac{n-b}{2}\le \left\lfloor\frac{n-1}{2}\right\rfloor =|S_2|$
$|S_3|=\left\lfloor\frac{n}{3}\right\rfloor-\left\lfloor\frac{n-1}{3}\right\rfloor$ ($=1$ nếu $n$ chia hết cho $3$, các trường hợp khác $=0$)
Vậy thì:
$|S_0|=\frac{(n-1)(n-2)}{2}-3\left\lfloor\frac{n-1}{2}\right\rfloor+2\left\lfloor\frac{n}{3}\right\rfloor-2\left\lfloor\frac{n-1}{3}\right\rfloor$
Số nghiệm của $(1)$ sẽ là:
\begin{align*}S_n&=\frac{|S_0|}{3!}\\ &=\frac{(n-1)(n-2)}{12}-\frac{1}{2}\left\lfloor\frac{n-1}{2}\right\rfloor+\frac{1}{3}\left\lfloor\frac{n}{3}\right\rfloor-\frac{1}{3}\left\lfloor\frac{n-1}{3}\right\rfloor \\ &= \left\lfloor\frac{(n-3)^2+3}{12}\right\rfloor\end{align*}
(Kiểm tra công thức rút gọn bằng cách xét 6 số dư của $n$ cho $6$, hoặc để nguyên vậy có sao đâu?)

Các bài toán kia đều dễ dàng áp dụng từ bài toán này!

[Kool LL]

 

Khiếp! Sao mà nhiều cách thế!

 

Em đọc tài liệu không cẩn thận rồi! Người ta viết là $D_n=\left\lfloor\frac{(n+3)^2}{12}\right\rceil$

và có chú thích một cách cẩn thận là $\lfloor x\rceil$ là số nguyên gần $x$ nhất. Như vậy thực tế thì $\lfloor x\rceil=\left\lfloor x+\frac{1}{2}\right\rfloor$ và đáp án đưa ra đâu có gì sai?

 

• Dạ thưa thầy, Ở đây em hiểu $\lfloor x\rfloor$ là số nguyên gần $x$ nhất mà không vượt quá $x$ (gọi tắt là số nguyên dưới), và $\lceil x\rceil$ là số nguyên gần $x$ nhất mà không nhỏ hơn $x$ (gọi tắt là số nguyên trên).

 

• Còn $\lfloor x\rceil$ là số nguyên gần $x$ nhất mà không quan tâm là số nguyên lớn hơn $x$ hay số nguyên nhỏ hơn $x$ thì chỉ lợi cho việc viết công thức rút gọn và đẹp. Nhưng nếu dùng $\lfloor x\rceil$ như vậy thì không tốt cho việc đưa về công thức đánh giá, vì nó có thể lúc thì lớn hơn $x$, lúc thì nhỏ hơn $x$. Và các sách ở bên ta thì chỉ có xài $[x]$ là phần nguyên của $x$ (là số nguyên gần $x$ nhất mà không vượt quá $x$). E nghĩ nhiều bạn sẽ dùng sai công thức $\lfloor x\rceil$ này mất thôi, vì theo thói quen chọn số nguyên nhỏ hơn không ah.

 

Ví dụ :

$\lfloor 1.4\rfloor=1$  ;  $\lfloor 1.7\rfloor=1$   ;    $\lfloor 1.5\rfloor=1$

$\lceil 1.4\rceil=2$  ;  $\lceil 1.7\rceil=2$   ;    $\lceil 1.5\rceil=2$

$\lfloor 1.4\rceil=1$  ;  $\lfloor 1.7\rceil=2$   ;    $\lfloor 1.5\rceil=???$ ($\lfloor 1.5\rceil=1$ đúng hay là $\lfloor 1.5\rceil=2$ đúng hả thầy ?)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Kool LL: 16-09-2014 - 09:43

[hxthanh]

Đây là hàm làm tròn lên trên mà em!
Theo đúng định nghĩa, ta có:
$\left\lfloor x\right\rceil=\left\lfloor x+\frac{1}{2}\right\rfloor$
$\left\lfloor 1.4\right\rceil=\left\lfloor 1.9\right\rfloor=1$
$\left\lfloor 1.5\right\rceil=\left\lfloor 2.0\right\rfloor=2$