Có bao nhiêu nghiệm tự nhiên của pt :a) x+2y+3z=2014
b) x+y+z=n(x$\geq y\geq z$)
Có bao nhiêu nghiệm tự nhiên của pt :a) x+2y+3z=2014
b) x+y+z=n(x$\geq y\geq z$)
Công thức trong tài liệu chỉ có TH 2 ẩn, không có 3 ẩn. Còn trong trang web thì công thức $D_n=\left\lfloor\frac{(n+3)^2}{12}\right\rfloor$ sai rồi.
Công thức đúng phải là $D_n=\left\lfloor\frac{(n+3)^2+3}{12}\right\rfloor$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Kool LL: 11-09-2014 - 23:25
Có bao nhiêu nghiệm tự nhiên của pt :
a) x+2y+3z=2014
Tổng quát hoá bài toán : $x+2y+3z=n$ (*)
Bổ đề : $\text{Với }|a|<1\text{ thì }\sum_{i=0}^{\infty}a^i=\lim_{n\to\infty}\sum_{i=0}^{n}a^i=\lim_{n\to\infty}(1+a+a^2+...+a^n)=\lim_{n\to\infty}\frac{1-a^{n+1}}{1-a}=\frac{1}{1-a}$
Dùng PP hàm sinh :
Xét $|a|<1$ và $f(a)=\left(\sum_{x=0}^{\infty}a^x\right)\left(\sum_{y=0}^{\infty}a^{2y}\right)\left(\sum_{z=0}^{\infty}a^{3z}\right)$$=\sum_{x=0,y=0,z=0}^{\infty}A_{x,y,z}.a^{x+2y+3z}=\sum_{n=0}^{\infty}A_n.a^n$ (1)
Ta thấy số nghiệm của pt(*) tương ứng chính là hệ số $A_n$ của $a^n$ trong khai triển $f(a)$
Mặt khác :
$f(a)=\frac{1}{1-a}.\frac{1}{1-a^2}.\frac{1}{1-a^3}=\frac{1}{(1-a)^3(1+a)(1+a+a^2)}$$=\frac{\frac{1}{8}}{1+a}+\frac{\frac{17}{72}}{1-a}+\frac{\frac{1}{4}}{(1-a)^2}+\frac{\frac{1}{6}}{(1-a)^3}+\frac{\frac{1}{9}(2+a)}{1+a+a^2}$
Mà ta có các khai triển sau (Maclaurin):
$\frac{1}{(1-a)^m}=(1-a)^{-m}=\sum_{k=0}^{\infty}\binom{-m}{k}(-1)^ka^k=\sum_{k=0}^{\infty}C_{k+m-1}^{m-1}a^k$
$\frac{1}{1+a+a^2}=(1-a).\frac{1}{1-a^3}=(1-a).\sum_{k=0}^{\infty}a^{3k}=\sum_{k=0}^{\infty}(a^{3k}-a^{3k+1})$
$\frac{2+a}{1+a+a^2}=(2+a)\sum_{k=0}^{\infty}(a^{3k}-a^{3k+1})=\sum_{n=0}^{\infty}(2a^{3k}-a^{3k+1}-a^{3k+2})$
Suy ra
$f(a)=\frac{1}{8}\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^na^n+\frac{17}{72}\sum_{n=0}^{\infty}a^n+\frac{1}{4}\sum_{n=0}^{\infty}(n+1)a^n+\frac{1}{6}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(n+1)(n+2)}{2}a^n$$+\frac{1}{9}\sum_{k=0}^{\infty}(2a^{3k}-a^{3k+1}-a^{3k+2})$ (2)
Đồng nhất các hệ số của $a^n$ trong (1) và (2), ta có :
$\boxed{}$ Nếu $n=3k$ thì $A_n=\frac{(-1)^{3k}}{8}+\frac{17}{72}+\frac{3k+1}{4}+\frac{(3k+1)(3k+2)}{12}+\frac{2}{9}=\frac{3(-1)^k+21+36k+18k^2}{24}$
$\boxed{}$ Nếu $n=3k+1$ thì $A_n=\frac{(-1)^{3k+1}}{8}+\frac{17}{72}+\frac{3k+2}{4}+\frac{(3k+2)(3k+3)}{12}-\frac{1}{9}=\frac{3(-1)^{k+1}+27+48k+18k^2}{24}$
$\boxed{}$ Nếu $n=3k+2$ thì $A_n=\frac{(-1)^{3k+2}}{8}+\frac{17}{72}+\frac{3k+3}{4}+\frac{(3k+3)(3k+4)}{12}-\frac{1}{9}=\frac{3(-1)^{k}+45+60k+18k^2}{24}$
Vậy :
$\boxed{}$ Nếu $n=3k,k=2t$ tức $n=6t$ thì $A_n=\frac{24+72t+72t^2}{24}=1+3t+3t^2=\frac{(n+3)^2+3}{12}=\left\lfloor\frac{(n+3)^2+3}{12}\right\rfloor$
$\boxed{}$ Nếu $n=3k,k=2t+1$ tức $n=6t+3$ thì $A_n=\frac{72+144t+72t^2}{24}=3+6t+3t^2=\frac{(n+3)^2}{12}=\left\lfloor\frac{(n+3)^2+3}{12}\right\rfloor$
$\boxed{}$ Nếu $n=3k+1,k=2t$ tức $n=6t+1$ thì $A_n=\frac{24+96t+72t^2}{24}=1+4t+3t^2=\frac{(n+3)^2-4}{12}=\left\lfloor\frac{(n+3)^2+3}{12}\right\rfloor$
$\boxed{}$ Nếu $n=3k+1,k=2t+1$ tức $n=6t+4$ thì $A_n=\frac{96+168t+72t^2}{24}=4+7t+3t^2=\frac{(n+3)^2-1}{12}=\left\lfloor\frac{(n+3)^2+3}{12}\right\rfloor$
$\boxed{}$ Nếu $n=3k+2,k=2t$ tức $n=6t+2$ thì $A_n=\frac{48+120t+72t^2}{24}=2+5t+3t^2=\frac{(n+3)^2-1}{12}=\left\lfloor\frac{(n+3)^2+3}{12}\right\rfloor$
$\boxed{}$ Nếu $n=3k+2,k=2t+1$ tức $n=6t+5$ thì $A_n=\frac{120+192t+72t^2}{24}=5+8t+3t^2=\frac{(n+3)^2-4}{12}=\left\lfloor\frac{(n+3)^2+3}{12}\right\rfloor$
Tóm lại Số nghiệm tự nhiện của pt $x+2y+3z=n$ là $A_n=\left\lfloor\frac{(n+3)^2+3}{12}\right\rfloor$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Kool LL: 11-09-2014 - 23:32
Có bao nhiêu nghiệm tự nhiên của pt :
b) $x+y+z=n\ (x\geq y\geq z)$ (1)
Bổ đề : $\boxed{\text{Số nghiệm tự nhiên của pt }x_1+2x_2+3x_3=n\text{ là }A_n=\left\lfloor\frac{(n+3)^2+3}{12}\right\rfloor}$
Do $x\ge y\ge z$ nên $\exists u=y-z\in\mathbb{N}\ ;\ v=x-y\in\mathbb{N}$. Suy ra $y=u+z\ ;\ x=u+y=u+v+z$.
Thay vào (1), pt trở thành : $u+2v+3z=n$ (2)
Số nghiệm tự nhiên của pt (1) = Số nghiệm tự nhiên của pt (2) = $A_n=\left\lfloor\frac{(n+3)^2+3}{12}\right\rfloor$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Kool LL: 11-09-2014 - 23:42
Có bao nhiêu nghiệm tự nhiên của pt :
b) $x+y+z=n\ (x\geq y\geq z)$ (1)
Cách 2 :
(gt) $\Rightarrow 0\le z\le\left\lfloor\frac{n}{3}\right\rfloor$
Với mỗi giá trị của $z$ thoả, thì pt (1) trở thành : $x+y=n-z\ (x\ge y\ge z)$ (2)
Từ (2) $\Rightarrow z\le y\le\left\lfloor\frac{n-z}{2}\right\rfloor$ nên (2) có số nghiệm bằng $\left\lfloor\frac{n-z}{2}\right\rfloor-z+1$
Suy ra số nghiệm pt (1) bằng $A_n=\sum_{z=0}^{\left\lfloor\frac{n}{3}\right\rfloor}\left(\left\lfloor\frac{n-z}{2}\right\rfloor-z+1\right)$$=\sum_{z=0}^{\left\lfloor\frac{n}{3}\right\rfloor}\left\lfloor\frac{n-z}{2}\right\rfloor-\sum_{z=2}^{\left\lfloor\frac{n}{3}\right\rfloor-1}z$$=\sum_{i=n-\left\lfloor\frac{n}{3}\right\rfloor}^{n}\left\lfloor\frac{i}{2}\right\rfloor-\frac{\left(\left\lfloor\frac{n}{3}\right\rfloor-1\right)\left\lfloor\frac{n}{3}\right\rfloor}{2}+1$
Mà :
$\sum_{i=1}^{k}\left\lfloor\frac{i}{2}\right\rfloor=\sum_{\begin{matrix}1\le i=2j\le k \\ 1\le j\le\left\lfloor\frac{k}{2}\right\rfloor\end{matrix}}j+\sum_{\begin{matrix}1\le i=2j+1\le k \\ 0\le j\le\left\lfloor\frac{k-1}{2}\right\rfloor\end{matrix}}j$$=\frac{\left\lfloor\frac{k}{2}\right\rfloor.\left(\left\lfloor\frac{k}{2}\right\rfloor+1\right)}{2}+\frac{\left\lfloor\frac{k-1}{2}\right\rfloor.\left(\left\lfloor\frac{k-1}{2}\right\rfloor+1\right)}{2}$
$\sum_{i=n-\left\lfloor\frac{n}{3}\right\rfloor}^{n}\left\lfloor\frac{i}{2}\right\rfloor$$=\sum_{i=1}^{n}\left\lfloor\frac{i}{2}\right\rfloor-\sum_{i=1}^{n-\left\lfloor\frac{n}{3}\right\rfloor-1}\left\lfloor\frac{i}{2}\right\rfloor$
$=\frac{\left\lfloor\frac{n}{2}\right\rfloor.\left(\left\lfloor\frac{n}{2}\right\rfloor+1\right)}{2}+\frac{\left\lfloor\frac{n-1}{2}\right\rfloor.\left(\left\lfloor\frac{n-1}{2}\right\rfloor+1\right)}{2}$$-\frac{\left\lfloor\frac{n-\left\lfloor\frac{n}{3}\right\rfloor-1}{2}\right\rfloor.\left(\left\lfloor\frac{n-\left\lfloor\frac{n}{3}\right\rfloor-1}{2}\right\rfloor+1\right)}{2}-\frac{\left\lfloor\frac{n-\left\lfloor\frac{n}{3}\right\rfloor-2}{2}\right\rfloor.\left(\left\lfloor\frac{n-\left\lfloor\frac{n}{3}\right\rfloor-2}{2}\right\rfloor+1\right)}{2}$
Suy ra
$A_n=\frac{\left\lfloor\frac{n}{2}\right\rfloor.\left(\left\lfloor\frac{n}{2}\right\rfloor+1\right)}{2}+\frac{\left\lfloor\frac{n-1}{2}\right\rfloor.\left(\left\lfloor\frac{n-1}{2}\right\rfloor+1\right)}{2}$$-\frac{\left\lfloor\frac{n-\left\lfloor\frac{n}{3}\right\rfloor-1}{2}\right\rfloor.\left(\left\lfloor\frac{n-\left\lfloor\frac{n}{3}\right\rfloor-1}{2}\right\rfloor+1\right)}{2}-\frac{\left\lfloor\frac{n-\left\lfloor\frac{n}{3}\right\rfloor-2}{2}\right\rfloor.\left(\left\lfloor\frac{n-\left\lfloor\frac{n}{3}\right\rfloor-2}{2}\right\rfloor+1\right)}{2}$$-\frac{\left(\left\lfloor\frac{n}{3}\right\rfloor-1\right)\left\lfloor\frac{n}{3}\right\rfloor}{2}+1$
$\boxed{}$ $n=6k$ thì $A_n=3k^2+3k+1=\frac{(n+3)^2+3}{12}=\left\lfloor\frac{(n+3)^2+3}{12}\right\rfloor$
$\boxed{}$ $n=6k+1$ thì $A_n=3k^2+4k+1=\frac{(n+3)^2-4}{12}=\left\lfloor\frac{(n+3)^2+3}{12}\right\rfloor$
$\boxed{}$ $n=6k+2$ thì $A_n=3k^2+5k+2=\frac{(n+3)^2-1}{12}=\left\lfloor\frac{(n+3)^2+3}{12}\right\rfloor$
$\boxed{}$ $n=6k+3$ thì $A_n=3k^2+6k+3=\frac{(n+3)^2}{12}=\left\lfloor\frac{(n+3)^2+3}{12}\right\rfloor$
$\boxed{}$ $n=6k+4$ thì $A_n=3k^2+7k+4=\frac{(n+3)^2-1}{12}=\left\lfloor\frac{(n+3)^2+3}{12}\right\rfloor$
$\boxed{}$ $n=6k+5$ thì $A_n=3k^2+8k+5=\frac{(n+3)^2-4}{12}=\left\lfloor\frac{(n+3)^2+3}{12}\right\rfloor$
Tóm lại $A_n=\left\lfloor\frac{(n+3)^2+3}{12}\right\rfloor$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Kool LL: 12-09-2014 - 02:21
Em đọc tài liệu không cẩn thận rồi! Người ta viết là $D_n=\left\lfloor\frac{(n+3)^2}{12}\right\rceil$Công thức trong tài liệu chỉ có TH 2 ẩn, không có 3 ẩn. Còn trong trang web thì công thức $D_n=\left\lfloor\frac{(n+3)^2}{12}\right\rfloor$ sai rồi.
Công thức đúng phải là $D_n=\left\lfloor\frac{(n+3)^2+3}{12}\right\rfloor$
Khiếp! Sao mà nhiều cách thế!
Em đọc tài liệu không cẩn thận rồi! Người ta viết là $D_n=\left\lfloor\frac{(n+3)^2}{12}\right\rceil$
và có chú thích một cách cẩn thận là $\lfloor x\rceil$ là số nguyên gần $x$ nhất. Như vậy thực tế thì $\lfloor x\rceil=\left\lfloor x+\frac{1}{2}\right\rfloor$ và đáp án đưa ra đâu có gì sai?
Ví dụ :
$\lfloor 1.4\rfloor=1$ ; $\lfloor 1.7\rfloor=1$ ; $\lfloor 1.5\rfloor=1$
$\lceil 1.4\rceil=2$ ; $\lceil 1.7\rceil=2$ ; $\lceil 1.5\rceil=2$
$\lfloor 1.4\rceil=1$ ; $\lfloor 1.7\rceil=2$ ; $\lfloor 1.5\rceil=???$ ($\lfloor 1.5\rceil=1$ đúng hay là $\lfloor 1.5\rceil=2$ đúng hả thầy ?)
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Kool LL: 16-09-2014 - 09:43
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh