Bài toán : Cho tam thức bậc hai $f(x)=x^{2}+ax+b.$ Biết phương trình $f(f(x))=0$ có bốn nghiệm phân biệt $x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}$ thỏa mãn $x_{1}+x_{2}=-1.$ Chứng minh $b <\frac{-1}{4}$
Chứng minh $b <\frac{-1}{4}$
#1
Đã gửi 22-09-2014 - 23:58
- chardhdmovies yêu thích
KẺ MẠNH CHƯA CHẮC ĐÃ THẮNG
MÀ KẺ THẮNG MỚI CHÍNH LÀ KẺ MẠNH!.
(FRANZ BECKEN BAUER)
ÔN THI MÔN HÓA HỌC TẠI ĐÂY.
#2
Đã gửi 28-09-2014 - 17:28
Bài toán : Cho tam thức bậc hai $f(x)=x^{2}+ax+b.$ Biết phương trình $f(f(x))=0$ có bốn nghiệm phân biệt $x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}$ thỏa mãn $x_{1}+x_{2}=-1.$ Chứng minh $b <\frac{-1}{4}$
Đề bài cần bổ sung dữ kiện $x_{1}< x_{2}< x_{3}< x_{4}$
$x_{1}+x_{2}=-1$ và $x_{1}< x_{2}\Rightarrow x_{1}< -\frac{1}{2}$
Phương trình $f(f(x))=0$ có thể viết như sau : $y^2+ay+b=0$ (1)
Trong đó $y=x^2+ax+b$
Giả sử (1) có $2$ nghiệm phân biệt là $y_{1}=\alpha$ và $y_{2}=\beta$
Và các pt $x^2+ax+(b-\alpha)=0$ (2) và $x^2+ax+(b-\beta)=0$ (3) đều có 2 nghiệm phân biệt (trong đó $x_{1}$ là nghiệm của (2))
Theo định lý Viete, tổng 2 nghiệm của pt (2) bằng tổng 2 nghiệm của pt (3) và bằng $-a$
Như vậy $x_{1}$ và $x_{4}$ là nghiệm của (2) ; $x_{2}$ và $x_{3}$ là nghiệm của (3).
Ta có :
$x_{2}=-1-x_{1}=-(x_{1}+1)$
$x_{3}=-a+x_{1}+1$
$x_{4}=-a-x_{1}=-(a+x_{1})$
$\Rightarrow \left\{\begin{matrix}b-\alpha =-(a+x_{1})x_{1}\\b-\beta =-(x_{1}+1)(x_{1}+1-a)\end{matrix}\right.$
$\Rightarrow \alpha -\beta =2ax_{1}-2x_{1}+a-1$ (4)
Mặt khác $\alpha +\beta =-a$ (5)
(4),(5) $\Rightarrow \alpha =\frac{2ax_{1}-2x_{1}-1}{2}$
$\Rightarrow b=\alpha -(a+x_{1})x_{1}=\frac{-2x_{1}^{2}-2x_{1}-1}{2}=-\left ( x_{1}^{2}+x_{1}+\frac{1}{4} \right )-\frac{1}{4}=-\left ( x_{1}+\frac{1}{2} \right )^2-\frac{1}{4}< -\frac{1}{4}$ (vì $x_{1}< -\frac{1}{2}$)
Vậy ta có $b< -\frac{1}{4}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 28-09-2014 - 19:06
- caybutbixanh, Phuong Mark, chardhdmovies và 2 người khác yêu thích
...
Ðêm nay tiễn đưa
Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh