6 replies to this topic

[19kvh97]

Cho tứ giác $ABCD$ có các cặp cạnh đối không  song song nội tiếp đường tròn tâm $O$. Gọi $M,N,P$ lần lượt là giao điểm của $AC$ và $BD$; $AD$ và $BC$; $AC$ và $BD$. Chứng minh rằng $O$ là trực tâm tam giác $NMP$ (định lý Brocard)

[LuoiHocNhatLop]

Gọi K là giao điểm (ABM) và (CDM)
Vì P nằm trên trục đẳng phương của 2 đường tròn này nên P,K,M thẳng hàng.

Xét tứ giác OADK có: 

$\angle AKD=\angle AKM+\angle MDK=\angle ABD+\angle ACD=\angle AOD$

Nên OADK là tứ giác nội tiếp, tương tự với OKCB

Suy ra O,K,N cũng thẳng hàng (cùng nằm trên trục đẳng phương của (OAD) và (OBC))

Mặt khác: 
$\angle PKN=\angle PKD+\angle DKN=\angle MCD+\angle OAD=\angle ABM+\angle OAD$

$=\angle AKM+ \angle AKO =\angle OKP$
Suy ra ON vuông góc với MP
Hoàn toàn tương tự ta chứng minh được OP vuông góc MN
Suy ra O là trực tâm tam giác MNP

Edited by LuoiHocNhatLop, 12-10-2014 - 00:25.

[vuducvanno1]

Bạn xem kí hiệu đầu bài có bị trùng không

[vuducvanno1]

Giả sử AB giao CD tại N.AD giao BC tại M.AC giao DB tại I.Ta sẽ chứng minh dựa trên cực đối cực:

Đường đối cực của N và M lần lượt là IM và IN nên ON và OM lần lượt vuông góc với IM và IN.Vật ta có dpcm

[bangbang1412]

Kẻ các tiếp tuyến từ $N$ đến $(O)$ là $NX,NY$ và $P$ là $PE,PF$ khi đó $\overline{X,Y,E,F,M}$ ( khi đó ta cũng đó đpcm vì $NO$ vuông góc $EF$)

Giả sử $XY$ cắt $AD,BC$ ở $H,K$ ta có $(NHAD)=(NKBC)=-1$ nên $HK,AB,DC$ đồng quy ở $P$  , tương tự $(NHAD)=(NKCB)=-1$ nên $HK,AC,DB$ đồng quy ở $M$ do đó ta có đpcm . 

[toanc2tb]

Cho em xin những tài liệu về các ứng dụng, bài tập về định lý này với ạ!

[hoangkimca2k2]

Cho em xin những tài liệu về các ứng dụng, bài tập về định lý này với ạ!

https://tranminhngoc...g-de1bba5ng.pdf