Tính tích phân
$$\int_{0}^{+\infty }\frac{x^{2}}{x^{4}-x^{2}+1}dx$$
Tính tích phân
$$\int_{0}^{+\infty }\frac{x^{2}}{x^{4}-x^{2}+1}dx$$
Ta có
$$I=\int_{0}^{\infty} \frac{x^2}{x^4-x^2+1}dx=\frac{1}{2}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{x^2}{x^4-x^2+1}dx$$
$$=\pi i Re\left \{ \frac{x^2}{x^4-x^2+1}, \, x=\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i \right \}+\pi i Re\left \{ \frac{x^2}{x^4-x^2+1}, \, x=-\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i \right \}$$
$$=\pi i \left ( \frac{\sqrt{3}}{12}-\frac{1}{4}i \right )+\pi i\left ( -\frac{\sqrt{3}}{12}-\frac{1}{4}i \right )=\frac{\pi}{2}$$
$\text{Cứ làm việc chăm chỉ trong im lặng}$
$\text{Hãy để thành công trở thành tiếng nói của bạn}$
Tính tích phân
$$\int_{0}^{+\infty }\frac{x^{2}}{x^{4}-x^{2}+1}dx$$
Ta có :
$\int_{0}^{a}\frac{x^2}{x^4-x^2+1}dx=\frac{\sqrt{3}}{6}\int_{0}^{a} \left ( \frac{x}{x^2-x\sqrt{3}+1}-\frac{x}{x^2+x\sqrt{3}+1} \right )dx=\frac{1}{2}\left [ \frac{\sqrt{3}}{6}\ln\frac{a^2-a\sqrt{3}+1}{a^2+a\sqrt{3}+1}+\arctan(2a-\sqrt{3})+\arctan(2a+\sqrt{3}) \right ]$
$I=\lim_{a\rightarrow +\infty}\int_{0}^{a}\frac{x^2}{x^4-x^2+1}dx=\frac{1}{2}\left ( \frac{\sqrt{3}}{6}\ln1+\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{2} \right )=\frac{\pi}{2}$.
...
Ðêm nay tiễn đưa
Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh