Đến nội dung


Hình ảnh
- - - - -

Tính $\int_{0}^{+\infty }\frac{x^{2}}{x^{4}-x^{2}+1}dx$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1 stronghd

stronghd

    Lính mới

  • Thành viên
  • 8 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 25-01-2015 - 21:57

Tính tích phân

 

$$\int_{0}^{+\infty }\frac{x^{2}}{x^{4}-x^{2}+1}dx$$



#2 Mrnhan

Mrnhan

    $\text{Uchiha Itachi}$

  • Thành viên
  • 1098 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\mathbb{Homeless}$
  • Sở thích:make someone happy :)

Đã gửi 16-08-2015 - 06:43

Tính tích phân

 

$$\int_{0}^{+\infty }\frac{x^{2}}{x^{4}-x^{2}+1}dx$$

 

Ta có

 

$$I=\int_{0}^{\infty} \frac{x^2}{x^4-x^2+1}dx=\frac{1}{2}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{x^2}{x^4-x^2+1}dx$$

 

$$=\pi i Re\left \{ \frac{x^2}{x^4-x^2+1}, \, x=\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i \right \}+\pi i Re\left \{ \frac{x^2}{x^4-x^2+1}, \, x=-\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i \right \}$$

 

$$=\pi i \left ( \frac{\sqrt{3}}{12}-\frac{1}{4}i \right )+\pi i\left ( -\frac{\sqrt{3}}{12}-\frac{1}{4}i \right )=\frac{\pi}{2}$$


$\text{Cứ làm việc chăm chỉ trong im lặng}$

Hình đã gửi$\text{Hãy để thành công trở thành tiếng nói của bạn}$Hình đã gửi


#3 chanhquocnghiem

chanhquocnghiem

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1030 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Vũng Tàu
  • Sở thích:Toán,Thiên văn,Lịch sử

Đã gửi 16-08-2015 - 17:56

Tính tích phân

 

$$\int_{0}^{+\infty }\frac{x^{2}}{x^{4}-x^{2}+1}dx$$

Ta có :

$\int_{0}^{a}\frac{x^2}{x^4-x^2+1}dx=\frac{\sqrt{3}}{6}\int_{0}^{a} \left ( \frac{x}{x^2-x\sqrt{3}+1}-\frac{x}{x^2+x\sqrt{3}+1} \right )dx=\frac{1}{2}\left [ \frac{\sqrt{3}}{6}\ln\frac{a^2-a\sqrt{3}+1}{a^2+a\sqrt{3}+1}+\arctan(2a-\sqrt{3})+\arctan(2a+\sqrt{3}) \right ]$

$I=\lim_{a\rightarrow +\infty}\int_{0}^{a}\frac{x^2}{x^4-x^2+1}dx=\frac{1}{2}\left ( \frac{\sqrt{3}}{6}\ln1+\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{2} \right )=\frac{\pi}{2}$.


...

Ðêm nay tiễn đưa

Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...

 

http://www.wolframal...-15)(x^2-8x+12)





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh