Chủ đề này có 3 trả lời

[hoanglong2k]

Cho $a,b,c,d$ là các số thực dương thoả mãn $abc+bcd+cda+dab=1$. Tìm GTNN của $A=4(a^3+b^3+c^3)+9d^3$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoanglong2k: 28-07-2015 - 06:09

[Dinh Xuan Hung]

Cho $a,b,c,d$ là các số thực dương thoả mãn $abc+bcd+cda+dab=1$. Tìm GTNN của $A=4(a^3+b^3+c^3)+9d^3$

 

Bài này nếu mọi người cân bằng hệ số để giải phương trình thì vui lòng nêu rõ cách giải chứ không ghi là "Giải phương trình trên ta được ... " hay đại loại như thế nhé

AM-GM

$\left\{\begin{matrix} \dfrac{1}{k^2}(a^3+b^3+c^3)\geq \dfrac{3abc}{k^2} & & & & \\ d^3+\dfrac{a^3}{k^3}+\dfrac{b^3}{k^3}\geq 3\dfrac{abd}{k^2}& & & & \\ d^3+\dfrac{b^3}{k^3}+\dfrac{c^3}{k^3}\geq 3\dfrac{bcd}{k^2}& & & & \\ d^3+\dfrac{a^3}{k^3}+\dfrac{c^3}{k^3}\geq \dfrac{3acd}{k^2} & & & & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow 3d^3+(\frac{2}{k^3}+\frac{1}{k^2})(a^3+b^3+c^3)\geq \frac{3}{k^2}(abc+bcd+cad+dab)\rightarrow 9d^3+3(\frac{2}{k^3}+\frac{1}{k^2})(a^3+b^3+c^3)\geq \frac{9}{k^2}$

Vậy ta tìm k cần phải thỏa mãn $\Rightarrow 3(\frac{2}{k^3}+\frac{1}{k^2})=4\Leftrightarrow 4k^3-3k-6=0$

Đặt $k=\frac{1}{2}(a+\frac{1}{a})\Rightarrow \frac{1}{2}(a+\frac{1}{a})^3-\frac{3}{2}(a+\frac{1}{a})=6\Leftrightarrow a^6-12a^3+1=0\Leftrightarrow a=\sqrt[3]{6\pm 35}\Rightarrow k=\frac{1}{2}(\sqrt[3]{6-\sqrt{35}}+\sqrt[3]{6+\sqrt{35}})$

Vậy GTNN của BT là $\frac{9}{k^2}=\frac{36}{(\sqrt[3]{6-\sqrt{35}}+\sqrt[3]{6+\sqrt{35}})^2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Dinh Xuan Hung: 07-05-2016 - 20:41

[trambau]

anh ơi có cách nào ko, cách này khủng quá

 

 

AM-GM

$\left\{\begin{matrix} \frac{1}{k^2}(a^3+b^3+c^3)\geq \frac{3abc}{k^2} & & & & \\ d^3+\frac{a^3}{k^3}+\frac{b^3}{k^3}\geq 3\frac{abd}{k^2}& & & & \\ d^3+\frac{b^3}{k^3}+\frac{c^3}{k^3}\geq 3\frac{bcd}{k^2}& & & & \\ d^3+\frac{a^3}{k^3}+\frac{c^3}{k^3}\geq \frac{3acd}{k^2} & & & & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow 3d^3+(\frac{2}{k^3}+\frac{1}{k^2})(a^3+b^3+c^3)\geq \frac{3}{k^2}(abc+bcd+cad+dab)\rightarrow 9d^3+3(\frac{2}{k^3}+\frac{1}{k^2})(a^3+b^3+c^3)\geq \frac{9}{k^2}$

Vậy ta tìm k cần phải thỏa mãn $\Rightarrow 3(\frac{2}{k^3}+\frac{1}{k^2})=4\Leftrightarrow 4k^3-3k-6=0$

Đặt $k=\frac{1}{2}(a+\frac{1}{a})\Rightarrow \frac{1}{2}(a+\frac{1}{a})^3-\frac{3}{2}(a+\frac{1}{a})=6\Leftrightarrow a^6-12a^3+1=0\Leftrightarrow a=\sqrt[3]{6\pm 35}\Rightarrow k=\frac{1}{2}(\sqrt[3]{6-\sqrt{35}}+\sqrt[3]{6+\sqrt{35}})$

Vậy GTNN của BT là $\frac{9}{k^2}=\frac{36}{(\sqrt[3]{6-\sqrt{35}}+\sqrt[3]{6+\sqrt{35}})^2}$

 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi trambau: 06-05-2016 - 22:01

[Dinh Xuan Hung]

anh ơi có cách nào ko, cách này khủng quá

Đây là phương pháp chọn điểm rơi em à ! Theo anh bài này cách này là được rồi cái PT bậc 3 kia anh nhớ không nhầm trong nâng cao phát triển lớp 9 có cách giải mấy dạng PT bậc 3 trên đấy