Chủ đề này có 9 trả lời

[longatk08]

Cho $a,b,c$ là các số thực không âm, không có 2 số nào đồng thời bằng không.Chứng minh rằng:

$\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{1}{b^2+c^2}+\frac{1}{c^2+a^2}\geq \frac{10}{(a+b+c)^2}+\frac{28abc(a+b+c)}{27(a^2+b^2)(b^2+c^2)(a^2+c^2)}$

[dogsteven]

Chuẩn hóa $a+b+c=1$ và đặt $q=ab+bc+ca, r=abc$

$(INEQ)\Leftrightarrow f( r )=10r^2+\left[20(1-2q)-\dfrac{82}{27}\right]r+(1-2q)^2+q^2-10q^2(1-2q)\geqslant 0$

Dễ thấy đây là một hàm số đơn điệu theo $r$. Vậy là ta có hai trường hợp cần xét:

Trường hợp $b=c=1$ thì ta cần chứng minh $\dfrac{2}{a^2+1}+\dfrac{1}{2}\geqslant \dfrac{10}{(a+2)^2}+\dfrac{14a(2a+1)}{27(a^2+1)^2}$

Trường hợp $c=0, b=1$ thì ta cần chứng minh $\dfrac{1}{a^2+1}+\dfrac{1}{a^2}+1\geqslant \dfrac{10}{(a+1)^2}$

Hai bất đẳng thức này dùng biến đổi tương đương hoặc khảo sát hàm số.

[longatk08]

Chuẩn hóa $a+b+c=1$ và đặt $q=ab+bc+ca, r=abc$

$(INEQ)\Leftrightarrow f( r )=10r^2+\left[20(1-2q)-\dfrac{82}{27}\right]r+(1-2q)^2+q^2-10q^2(1-2q)\geqslant 0$

Dễ thấy đây là một hàm số đơn điệu theo $r$. Vậy là ta có hai trường hợp cần xét:

Trường hợp $b=c=1$ thì ta cần chứng minh $\dfrac{2}{a^2+1}+\dfrac{1}{2}\geqslant \dfrac{10}{(a+2)^2}+\dfrac{14a(2a+1)}{27(a^2+1)^2}$

Trường hợp $c=0, b=1$ thì ta cần chứng minh $\dfrac{1}{a^2+1}+\dfrac{1}{a^2}+1\geqslant \dfrac{10}{(a+1)^2}$

Hai bất đẳng thức này dùng biến đổi tương đương hoặc khảo sát hàm số.

Nếu thế thì $a=0$ luôn rồi cái khúc sau không nhiều ý nghĩa

[dogsteven]

Chuẩn hóa $a+b+c=1$ và đặt $q=ab+bc+ca, r=abc$

$(INEQ)\Leftrightarrow f( r )=10r^2+\left[20(1-2q)-\dfrac{82}{27}\right]r+(1-2q)^2+q^2-10q^2(1-2q)\geqslant 0$

Dễ thấy đây là một hàm số đơn điệu theo $r$. Vậy là ta có hai trường hợp cần xét:

Trường hợp $b=c=1$ thì ta cần chứng minh $\dfrac{2}{a^2+1}+\dfrac{1}{2}\geqslant \dfrac{10}{(a+2)^2}+\dfrac{14a(2a+1)}{27(a^2+1)^2}$

Trường hợp $c=0, b=1$ thì ta cần chứng minh $\dfrac{1}{a^2+1}+\dfrac{1}{a^2}+1\geqslant \dfrac{10}{(a+1)^2}$

Hai bất đẳng thức này dùng biến đổi tương đương hoặc khảo sát hàm số.

Từ hàm số $f( r )$ có thể phân tách hai trường hợp $q\leqslant \dfrac{1}{4}$ thì đánh giá cho $r\geqslant 0$ và $q\in \left[\dfrac{1}{4}, \dfrac{1}{3}\right]$ dùng Schur bậc 3 cho $r$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dogsteven: 21-04-2015 - 13:04

[dogsteven]

Nếu thế thì $a=0$ luôn rồi cái khúc sau không nhiều ý nghĩa

Khi chứng minh xong $f( r )$ tăng thì ta chỉ cần chứng minh bất đẳng thức khi $b=c$ và chuẩn hóa $b=c=1$ ở bất đẳng thức đầu hoặc $c=0$ và chuẩn hóa $b=1$

[longatk08]

Khi chứng minh xong $f( r )$ tăng thì ta chỉ cần chứng minh bất đẳng thức khi $b=c$ và chuẩn hóa $b=c=1$ ở bất đẳng thức đầu hoặc $c=0$ và chuẩn hóa $b=1$

Vậy ban đầu mình thấy bạn cũng không cần phải chuẩn hóa $a+b+c$ vì sau khi khai triển thì bậc cao nhất của $abc$ là 2 và ta đã biết hệ số của nó luôn dương.

[dogsteven]

Vậy ban đầu mình thấy bạn cũng không cần phải chuẩn hóa $a+b+c$ vì sau khi khai triển thì bậc cao nhất của $abc$ là 2 và ta đã biết hệ số của nó luôn dương.

Hệ số của nó dương, nhưng hệ số bậc nhất của nó chưa chắc dương nên chuẩn hóa cho $a+b+c=1$ nhằm mục đích làm gọn và phá mẫu $(a+b+c)^2$, còn để yên chứng minh hệ số bậc nhất và bậc hai dương vẫn được nhưng ghét khai triển $p,q,r$ dạng đầy đủ nên không thích lắm.

[longatk08]

Hệ số của nó dương, nhưng hệ số bậc nhất của nó chưa chắc dương nên chuẩn hóa cho $a+b+c=1$ nhằm mục đích làm gọn và phá mẫu $(a+b+c)^2$, còn để yên chứng minh hệ số bậc nhất và bậc hai dương vẫn được nhưng ghét khai triển $p,q,r$ dạng đầy đủ nên không thích lắm.

Cho mình hỏi một chút về định lý ABC nhé,trong hệ quả của định lý mình thấy nêu là chỉ cần hệ số gắn với abc bậc 2 dương thì ta có thể áp dụng đc tại sao lại cần chứng minh cả hệ số bậc nhất nó dương hả bạn!

[dogsteven]

Cho mình hỏi một chút về định lý ABC nhé,trong hệ quả của định lý mình thấy nêu là chỉ cần hệ số gắn với abc bậc 2 dương thì ta có thể áp dụng đc tại sao lại cần chứng minh cả hệ số bậc nhất nó dương hả bạn!

Định lý nói $f( r )$ lồi thì đạt cực đại tại hai biến bằng nhau hoặc một biến bằng không chứ không nói đến cực tiểu. Để có cực tiểu thì cần có $f( r )$ đơn điệu.

[Nguyenhuyen_AG]

Cho $a,b,c$ là các số thực không âm, không có 2 số nào đồng thời bằng không.Chứng minh rằng:

$\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{1}{b^2+c^2}+\frac{1}{c^2+a^2}\geq \frac{10}{(a+b+c)^2}+\frac{28abc(a+b+c)}{27(a^2+b^2)(b^2+c^2)(a^2+c^2)}$

 

Đặt

\[P = \frac{1}{a^2+b^2}+\frac{1}{b^2+c^2}+\frac{1}{c^2+a^2} - \frac{10}{(a+b+c)^2}-\frac{28abc(a+b+c)}{27(a^2+b^2)(b^2+c^2)(a^2+c^2)},\]

thì

\[P = \frac{\displaystyle \sum ab(175a^2+54ab+175b^2+100c^2)(a-b)^2+\sum c(41a+41b+54c)(a-c)^2(b-c)^2}{54(a^2+b^2)(b^2+c^2)(c^2+a^2)(a+b+c)^2} \geqslant 0.\]