Chủ đề này có 2 trả lời

[AshtonNguyen]

Cho các số $a,b,c\in [0;1]$. Tìm GTLN của: $T=\frac{a}{b+c+1}+\frac{b}{c+a+1}+\frac{c}{a+b+1}+(1-a)(1-b)(1-c)$

@Dinh Xuan Hung:Chú ý kẹp $$ vào công thức TOÁN HỌC

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ngoc Hung: 29-04-2015 - 20:22

[Nguyen Minh Hai]

Cho các số $a,b,c\in [0;1]$. Tìm GTLN của: $T=\frac{a}{b+c+1}+\frac{b}{c+a+1}+\frac{c}{a+b+1}+(1-a)(1-b)(1-c)$

@Dinh Xuan Hung:Chú ý kẹp $$ vào công thức TOÁN HỌC

Không mất tỉnh tổng quát, giả sử: $0 \leq a \leq b \leq c \leq 1$

Khi đó ta có: $\left\{\begin{matrix} b+c+1 \geq a+b+1 & & \\ c+a+1 \geq a+b+1 & & \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow T=\frac{a}{b+c+1}+\frac{b}{c+a+1}+\frac{c}{a+b+1}+(1-a)(1-b)(1-c)$

$\leq \frac{a+b+c}{a+b+1}+\frac{(a+b+1)(1-a)(1-b)(1-c)}{a+b+1}$

$\leq \frac{a+b+c}{a+b+1}+\frac{(ab+a+b+1)(1-a)(1-b)(1-c)}{a+b+1}$

$= \frac{a+b+c}{a+b+1}+\frac{(a+1)(b+1)(1-a)(1-b)(1-c)}{a+b+1}$

$=\frac{a+b+c}{a+b+1}+\frac{(1-a^2)(1-b^2)(1-c)}{a+b+1}$

$\leq \frac{a+b+c}{a+b+1}+\frac{1-c}{a+b+1}=1$ (do $(1-a^2)(1-b^2) \leq 1$)

Xảy ra đẳng thức khi $a=b=c=1$ hoặc $(a,b,b)$ là hoán vị của $(0;1;1)$

[tien123456789]

giả sử a là số lớn nhất trong 3 số.Theo bất đẳng thức cosi ta có:

 

$\frac{(1-b)+(1-c)+(1+b+c)}{3}\geq \sqrt[3]{(1-b)(1-c)(1+b+c)} \Rightarrow \frac{1}{1+b+c}\geq (1-b)(1-c) \Rightarrow \frac{1-a}{1+b+c}\geq (1-a)(1-b)(1-c)$

 

$\frac{b}{1+a+c}\leq \frac{b}{1+b+c}$

 

$\frac{c}{1+a+b}\leq \frac{c}{1+c+b}$

 

$\Rightarrow T\leq \frac{1-a}{1+b+c}+\frac{b}{1+b+c}+\frac{c}{1+b+c}+\frac{a}{1+b+c}= 1$

 

dấu bằng xảy ra khi a=b=c=1 hoặc a=b=1, c=0 và các hoán vị