2. Bạn có thể làm nốt cách dùng Chebyshev được không ?
2. Cho 3 số thực dương a,b,c thỏa mãn a+b+c=1. Tìm giá trị lớn nhất của
$P=\frac{1}{1-ab}+\frac{1}{1-bc}+\frac{1}{1-ca}$
Do ta có thể dự đoán điểm rơi để $P$ đại $Max$ là $a=b=c=\frac{1}{3}$ nên ta sẻ đi chứng minh BĐT sau là đúng:
$\frac{1}{1-ab}+\frac{1}{1-bc}+\frac{1}{1-ca} \leq \frac{27}{8}$ với $a+b+c=1$ (1)
(1) $\Leftrightarrow \sum \frac{1-9ab}{1-ab} \geq 0$
Đặt: $bc=x;ca=y;ab=z$. Ta cần chứng minh:
$\sum \frac{1-9x}{1-x} \geq 0$
$\Leftrightarrow \sum \frac{(1-9x)(2+3x)}{(1-x)(2+3x)} \geq 0$ (2)
Giả sử: $a \geq b \geq c$ thì $x \leq y \leq z$
Do $a+b+c=1$ nên: $x+y=a(b+c) \leq (\frac{a+b+c}{2})^2 =\frac{1}{4};y+z \leq \frac{1}{4};z+x \leq \frac{1}{4}$
Dễ có: $\left\{\begin{matrix} (1-9x)(2+3x)\geq(1-9y)(2+3y)\geq (1-9z)(2+3z) & & \\ (1-x)(2+3x)\leq (1-y)(2+3y)\leq (1-z)(2+3z) & & \end{matrix}\right.$
Áp dụng BĐT $Chebyshev$ ta có:
$LHS$(2)$\geq [\sum(1-9x)(2+3x)].[\sum\frac{1}{(1-x)(2+3x)}]$
Vì $\sum\frac{1}{(1-x)(2+3x)} >0$ nên ta chỉ cần chứng minh:
$\sum (1-9x)(2+3x)\geq 0$
$\Leftrightarrow 6-15(x+y+z)-27(x^2+y^2+z^2)\geq 0$
$\Leftrightarrow 5(ab+bc+ca)+9(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2) \leq 2$
$\Leftrightarrow 5(ab+bc+ca)+9(ab+bc+ca)^2 \leq 2+18abc(a+b+c)=18abc+2$
Sử dụng BĐT quen thuộc:
$(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)\leq abc$ kết hợp với $a+b+c=1$ ta có:
$(1-2a)(1-2b)(1-2c) \leq abc$
$\Leftrightarrow 4(ab+bc+ca)\leq 9abc+1$
Mặt khác: $ab+bc+ca \leq \frac{(a+b+c)^2}{3}=\frac{1}{3}$ nên:
$5(ab+bc+ca)+9(ab+bc+ca)^2 =5(ab+bc+ca)+9(ab+bc+ca)(ab+bc+ca)\leq 5(ab+bc+ca)+3(ab+bc+ca)=8(ab+bc+ca)\leq 18abc+2$
Do đó $P \leq \frac{27}{18}$
Vậy $Max_{P} = \frac{27}{18}$ khi $x=y=z=\frac{1}{3}$
Cách giải được trích dẫn từ sách của thầy Trần Phương.
Edited by Nguyen Minh Hai, 01-05-2015 - 22:26.