Tìm số nguyên tố p thỏa mãn phương trình $x^4+4=py^4$ có nghiệm nguyên
p/s: Bài dạng này mới quá !
Tìm số nguyên tố p thỏa mãn phương trình $x^4+4=py^4$ có nghiệm nguyên
p/s: Bài dạng này mới quá !
Đừng lo lắng về khó khăn của bạn trong toán học, tôi đảm bảo với bạn rằng những khó khăn toán học của tôi còn gấp bội.
(Albert Einstein)
Visit my facebook: https://www.facebook.com/cao.simon.56
Tìm số nguyên tố p thỏa mãn phương trình $x^4+4=py^4$ có nghiệm nguyên
p/s: Bài dạng này mới quá !
Lời giải không biết có đúng không
Đặt $x^2 =a \geq 0$ và $y^2 =b \geq 0$ ($a,b \in N$), thay vào thì phương trình trở thành:
$a^2 +4 =pb^2$
Giả sử phương trình có nghiệm nguyên $(a_0;b_0)$ thỏa mãn phương trình sao cho $a_0 +b_0$ nhỏ nhất.
Xét phương trình bậc 2 ẩn $a_0$
$a_0^2+4-pb_0^2=0$
Dễ thấy phương trình có nghiệm là $a_0$, gọi nghiệm còn lại là $a_1$ thì do $a_0 +b_0$ nhỏ nhất nên $a_1 \geq a_0$
Theo định lí Viet, ta cũng có: $a_1a_0 =4-pb_0^2$
$\Rightarrow a_0^2 \leq a_1a_0 =4-pb_0^2 \Leftrightarrow a_0^2 +pb_0^2 \leq 4 \Rightarrow p \leq 4$
Mà $p$ nguyên tố nên $p \in$ {$2;3$}
+, Xét $p =3$, thay vào phương trình ta có: $x^4 +4 =3y^4$
Nhận thấy VP $\vdots 3$ nên $x^4 +4 \equiv x^4 +1 \equiv 0$ (mod $3$) $\Rightarrow x^4 \equiv 2$ (mod $3$) (vô lí)
Do đó phương trình vô nghiệm với $p=3$
+, Xét $p=2$ thay vào ta được: $x^4 +4 =2y^4 \Rightarrow x^4 \vdots 2$
Đặt $x =2x_1 (x_1 \in Z)$, thay vào ta có: $8x_1^4 +2 =y^4 \Rightarrow y \vdots 2$
Đặt $y=2y_1 (y_1 \in Z)$, thay vào ta có: $4x_1^4 +1 =8y_1^4$
Do VP $\vdots 2$ còn VT thì không nên phương trình này cũng ko có nghiệm nguyên.
Vậy: Không có $p$ nguyên tố để phương trình trên có nghiệm nguyên.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nangcuong8e: 10-05-2015 - 09:04
Lời giải không biết có đúng không
Đặt $x^2 =a \geq 0$ và $y^2 =b \geq 0$ ($a,b \in N$), thay vào thì phương trình trở thành:
$a^2 +4 =pb^2$
Giả sử phương trình có nghiệm nguyên $(a_0;b_0)$ thỏa mãn phương trình sao cho $a_0 +b_0$ nhỏ nhất.
Xét phương trình bậc 2 ẩn $a_0$
$a_0^2+4-pb_0^2=0$
Dễ thấy phương trình có nghiệm là $a_0$, gọi nghiệm còn lại là $a_1$ thì do $a_0 +b_0$ nhỏ nhất nên $a_1 \geq a_0$
Theo định lí Viet, ta cũng có: $a_1a_0 =4-pb_0^2$
$\Rightarrow a_0^2 \leq a_1a_0 =4-pb_0^2 \Leftrightarrow a_0^2 +pb_0^2 \leq 4 \Rightarrow p \leq 4$
Mà $p$ nguyên tố nên $p \in$ {$2;3$}
+, Xét $p =3$, thay vào phương trình ta có: $x^4 +4 =3y^4$
Nhận thấy VP $\vdots 3$ nên $x^4 +4 \equiv x^4 +1 \equiv 0$ (mod $3$) $\Rightarrow x^4 \equiv 2$ (mod $3$) (vô lí)
Do đó phương trình vô nghiệm với $p=3$+, Xét $p=2$ thay vào ta được: $x^4 +4 =2y^4 \Rightarrow x^4 \vdots 2$
Đặt $x =2x_1 (x_1 \in Z)$, thay vào ta có: $8x_1^4 +2 =y^4 \Rightarrow y \vdots 2$
Đặt $y=2y_1 (y_1 \in Z)$, thay vào ta có: $4x_1^4 +1 =8y_1^4$
Do VP $\vdots 2$ còn VT thì không nên phương trình này cũng ko có nghiệm nguyên.
Vậy: Không có $p$ nguyên tố để phương trình trên có nghiệm nguyên.
sai nếu $x=1;y=1$ thì $p=5$.
Lời giải không biết có đúng không
Đặt $x^2 =a \geq 0$ và $y^2 =b \geq 0$ ($a,b \in N$), thay vào thì phương trình trở thành:
$a^2 +4 =pb^2$
Giả sử phương trình có nghiệm nguyên $(a_0;b_0)$ thỏa mãn phương trình sao cho $a_0 +b_0$ nhỏ nhất.
Xét phương trình bậc 2 ẩn $a_0$
$a_0^2+4-pb_0^2=0$
Dễ thấy phương trình có nghiệm là $a_0$, gọi nghiệm còn lại là $a_1$ thì do $a_0 +b_0$ nhỏ nhất nên $a_1 \geq a_0$
Theo định lí Viet, ta cũng có: $a_1a_0 =4-pb_0^2$
$\Rightarrow a_0^2 \leq a_1a_0 =4-pb_0^2 \Leftrightarrow a_0^2 +pb_0^2 \leq 4 \Rightarrow p \leq 4$
Mà $p$ nguyên tố nên $p \in$ {$2;3$}
+, Xét $p =3$, thay vào phương trình ta có: $x^4 +4 =3y^4$
Nhận thấy VP $\vdots 3$ nên $x^4 +4 \equiv x^4 +1 \equiv 0$ (mod $3$) $\Rightarrow x^4 \equiv 2$ (mod $3$) (vô lí)
Do đó phương trình vô nghiệm với $p=3$+, Xét $p=2$ thay vào ta được: $x^4 +4 =2y^4 \Rightarrow x^4 \vdots 2$
Đặt $x =2x_1 (x_1 \in Z)$, thay vào ta có: $8x_1^4 +2 =y^4 \Rightarrow y \vdots 2$
Đặt $y=2y_1 (y_1 \in Z)$, thay vào ta có: $4x_1^4 +1 =8y_1^4$
Do VP $\vdots 2$ còn VT thì không nên phương trình này cũng ko có nghiệm nguyên.
Vậy: Không có $p$ nguyên tố để phương trình trên có nghiệm nguyên.
Bài giải sai ở điểm này, $(a_1, b_0)$ không phải là bộ số thỏa đề nên $a_1$ chưa chắc đã không bé hơn $a_0$. Thực tế $a_1<a_0$
Quyết tâm off dài dài cày hình, số, tổ, rời rạc.
Nếu $5\nmid x$ thì $5\mid x^4+4$, khi đó $5\mid py^4$ thì $p=5$ hoặc $5\mid y$
Nếu $p=5$ thì $x=y=1$ thỏa mãn.
Nếu $5\mid y$ thì $5^4\mid x^4+4$ vô lý vì $x^4\equiv \{0,1,16,81,256\}\pmod{5^4}$
Nếu $5\mid x$ thì $5\mid py^4-4\Rightarrow 5\mid p-4$ do $y^4\equiv 1\pmod{5}$ ($5\mid y$ không thỏa mãn)
Do $p$ nguyên tố nên $p\equiv \{1,2,3,4\}\pmod{5}$, do đó $4\mid p$ vô lý.
Vậy $p=5$ thỏa mãn yêu cầu bài ra.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dogsteven: 10-05-2015 - 09:43
Quyết tâm off dài dài cày hình, số, tổ, rời rạc.
Lời giải: $x^4+4=py^4\Leftrightarrow (x^2-2x+2)(x^2+2x+2)=py^4$
Dễ chứng minh được $gcd(x^2-2x+2;x^2+2x+2)=1$
nên $x^2-2x+2=a^2$ và $x^2+2x+2=yb^2$ với $ab=y^2$
Phương trình đầu tìm được $a^2=1$ suy ra $x=1$ từ đó tìm ra
$p=5$ (thoả mãn)
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Namthemaster1234: 10-05-2015 - 22:41
Đừng lo lắng về khó khăn của bạn trong toán học, tôi đảm bảo với bạn rằng những khó khăn toán học của tôi còn gấp bội.
(Albert Einstein)
Visit my facebook: https://www.facebook.com/cao.simon.56
Lời giải: $x^4+4=py^4\Leftrightarrow (x^2-2x+2)(x^2+2x+2)=py^4$
Dễ chứng minh được $gcd(x^2-2x+2;x^2+2x+2)=1$
nên $x^2-2x+2=a^2$ và $x^2+2x+2=yb^2$ với $ab=y^2$
Phương trình đầu tìm được $a^2=1$ suy ra $x=1$ từ đó tìm ra
$p=5$ (thoả mãn)
Xem lại dòng này. Thấy rằng $x$ chẵn thì ước chung bằng $2$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dogsteven: 11-05-2015 - 17:37
Quyết tâm off dài dài cày hình, số, tổ, rời rạc.
Xem lại dòng này. Thấy rằng $x$ chẵn thì ước chung bằng $2$
Vâng, em có thiếu sót
Tất nhiên ta đang xét $x$ lẻ vì nếu $x$ chẵn thì $LHS\equiv 4 (mod 16)$ trong khi $RHS\equiv 0,2 (mod 16)$ hiển nhiên sai.
Đừng lo lắng về khó khăn của bạn trong toán học, tôi đảm bảo với bạn rằng những khó khăn toán học của tôi còn gấp bội.
(Albert Einstein)
Visit my facebook: https://www.facebook.com/cao.simon.56
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh